1.4 Stammfunktion und Integrale, Matheübungen

Flächeninhalt und bestimmtes Integral - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Hilfe
    • Stammfunktionen von sin, cos und exp:

    ∫ sin (x) dx = − cos (x) + C

    ∫ cos (x) dx = sin (x) + C

    ∫ ex dx = ex + C

    • Beachte aufgrund der Kettenregel (a ≠ 0):

    ∫ f ( ax + b ) dx

    = 1/a · F ( ax + b) + C

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Welche Funktion ist Stammfunktion von f? Kreuze ALLE richtigen Lösungen an.

  • f
     
    x
    =
    sin
    3x
    +
    5
    F
    x
    =
     
    −
    1
    3
    ·
    cos
    x
     
    3
    ·
    cos
    x
     
    −
    1
    3
    ·
    cos
    3x
    +
    5
     
    3
    ·
    cos
    3x
    +
    5
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Was sind die Stammfunktionen von exp(x), sin(x) und cos(x) und was ist bei der Integration von f(ax+b) zu beachten?
#576
  • Stammfunktionen von sin, cos und exp:

∫ sin (x) dx = − cos (x) + C

∫ cos (x) dx = sin (x) + C

∫ ex dx = ex + C

  • Beachte aufgrund der Kettenregel (a ≠ 0):

∫ f ( ax + b ) dx

= 1/a · F ( ax + b) + C

Beispiel
Gib jeweils eine Stammfunktion an.
a) 
f
 
x
=
2e
4x
+
1
a) 
f
 
x
=
sin
 
0,5x
−
π
Wie findet man die Stammfunktion eines Bruchterms, wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht?
#571
Ist f(x) ein Bruchterm und steht im Zähler der Ableitungsterm des Nenners, so lässt sich folgende Stammfunktion angeben:

f(x) = g'(x)/g(x) ⇒ F(x) = ln|g(x)|

Beispiel
Bestimme, falls möglich, eine Stammfunktion:
a) 
f(x)
=
3
3x
+
1
b) 
f(x)
=
3x
+
1
3x
2
+
2x
c) 
f(x)
=
3x
+
1
3x
3
−
x
Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?
#570
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C