1.5 gebrochen-rationale Funktionen: Grenzwertverhalten auch an den Polen, Matheübungen

- Lehrplan (im Aufbau)

Hilfe
  • Strebt bei einem Bruch der Zähler gegen eine konstante Zahl ≠ 0 und der Nenner gegen 0- bzw. 0+, so strebt der Bruch, je nach Vorzeichen des Zählers, gegen -∞ oder +∞.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme. Aktiviere die Tastatur für Sonderzeichen, um "∞" eingeben zu können. Gib "!" ein, falls der jeweilige Limes nicht existiert.

  • lim
    x → 1+
     
    2
    1
    −
    x
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Wie bestimmt und spezifiziert man eine Polstelle in der Mathematik?
#324
Um eine Polstelle x0 zu spezifizieren, muss man die einseitigen Grenzwerte bestimmen. Dazu lässt man x einmal von links gegen x0 gehen und einmal von rechts.

Beispiel: x0=1
"von links gegen 1" trifft etwa auf die Folge 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ... zu.
"von rechts gegen 1" trifft etwa auf die Folge 1,1 ; 1,01 ; 1,001 ... zu.

Oft erkennt man schon ohne direktes Ausrechnen, ob der Funktionswert f(x) sich dabei gegen +∞ oder −∞ entwickelt.

Beispiel
Bestimme alle auftretenden Polstellen und charakterisiere diese näher
3
2x
2
−
4x
Was bedeutet der Limes von f(x) für x → c− bzw. x → c+?
#544

Sei c eine beliebige reelle Zahl. Der Limes von f(x) für x → c− bzw. x → c+ gibt an, wie sich die Funktion in unmittelbarer Umgebung links bzw. rechts von x = c verhält.

Beispiel
Wie verhält sich f in der Umgebung der Definitionslücken?
graphik
Strebt bei einem Bruch der Zähler gegen eine konstante Zahl ≠ 0 und der Nenner gegen 0- bzw. 0+, so strebt der Bruch, je nach Vorzeichen des Zählers, gegen -∞ oder +∞.
Beispiel
Bestimme, wenn möglich:
l i m
x → 5-   
 
1
−
x
x
−
5
 
          
 
l i m
x → 5   
 
1
−
x
x
−
5
Der Limes einer gebrochen-rationalen Funktion für x → ∞ oder x → -∞ kann durch Ausklammern der höchsten Nennerpotenz bestimmt werden.

Noch einfacher geht es mit folgender Regel ("z" steht für Zählergrad, "n" für Nennergrad, mit " lZ" und " lN" sind die jeweiligen Leitkoeffizienten gemeint):

  • = 0, falls z < n (x- Achse als Asymptote)
  • = lZ : lN, falls z = n (waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse)
  • = ∞ bzw. -∞, falls z > n; ob "+" oder "-" findet man heraus, indem man Zähler und Nennergrad sowie die Leitkoeffizienten betrachtet
Beispiel
l i m
x → -∞   
 
x
3
−
2
x
2
+
3x
=
?