4.6 Graph und Funktionsterm - Teil 1, Mathe-Übungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer

Welcher der angegebenen Funktionsterme f(x) passt allein zum abgebildeten Graphen? Die Frage lässt sich auch ohne Beschriftung der Achsen beantworten (x- und y-Achse haben wie üblich dieselbe Einheit).

  • graphik
     
    1
    −
    2x
    2
    x
    +
    2
         
     
    1
    −
    2x
    x
    3
    +
    1
         
     
    −
    x
    −
    1
    x
    +
    2
         
     
    1
    −
    2x
    x
    +
    1
    Bemerkung: Die Aufgabe kann auch ohne Beschriftung des KOSY gelöst werden.
    Notizfeld
    Notizfeld
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Beispiel
Untersuche die folgende rationale Funktion hinsichtlich evtl. Defintionslücken, Polstellen, Nullstellen sowie Asymptoten und skizziere anhand der gewonnenen Informationen den Graph.
f(x)
=
2x
3
−
8x
6x
2
−
3x
3
Gute Anhaltspunkte für eine genaue Zeichnung des Funktionsgraphen liefern folgende Untersuchungen (Kurvendiskussion):
  • maximale Definitionsmenge
  • Punkt- und Achsensymmetrie
  • Schnittpunkte mit x- und y-Achse
  • Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs/Asymptoten
  • relative Extremwerte/Monotonieverhalten
  • Wendepunkte/Krümmungsverhalten
Beispiel
f
 
x
=
x
2
+
2x
+
1
x
+
3
Untersuche die Funktion f hinsichtlich max. Derfinitionsmenge, Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Asymptoten, relative Hoch- und Tiefpunkte, Monotonieverhalten, Wendepunkte und Krümmungsverhalten. Skizziere den Graphen und gib die Wertemenge an.
Anhand der Asymptoten und mithilfe eines Punkts des Graphen kann man bei elementaren gebrochen-rationalen Funktionen vom Graphen auf den Funktionsterm schließen (siehe Beispiel).
Beispiel
Für elementare gebrochen-rationale Funktionen kann man aus einem gegebenen Graphen auf den zugehörigen Funktionsterm der Form 
f(x)
=
a
x
+
b
+
c
 schließen, indem man …
  • … die senkrechte und die waagrechte Asymptote am Graphen abliest,
  • … damit im Funktionsterm die Werte der Paramter b und c festlegt,
  • … einen Punkt des Graphen abliest und die Koordinaten dieses Punkts in den Funktionsterm einsetzt ("Punktprobe")
  • … und die entstehende Gleichung nach dem Parameter a auflöst, um auch dessen Wert zu bestimmen.
Den gesuchten Funktionsterm erhält man schließlich durch Einsetzen der Werte von a, b und c in den allgemeinen Funktionsterm.
Aufgabenbeispiel:
graphik
Bestimme den zum Graphen passenden Funktionsterm.
Der Parameter a im Term einer gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung y=a/x kann eine Streckung in y-Richtung und eine Spiegelung an der x-Achse bewirken (siehe Beispiel).
Beispiel
Den Graphen der Funktion g mit dem Term 
g(x)
=
a
x
 erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 durch
  • Streckung um den Faktor |a| in y-Richtung und,
  • falls a negativ ist, durch Spiegelung an der x-Achse.
Aufgabenbeispiel:
graphik
Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.
Der Parameter b im Term einer elementaren gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung y=a/(x+b)+c bewirkt eine Verschiebung entlang der x-Achse, der Parameter c eine Verschiebung entlang der y-Achse (siehe Beispiel).
Beispiel
Den Graphen der Funktion g mit dem Term 
g(x)
=
a
x
+
b
+
c
 erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
a
x
 durch
  • Verschiebung um |b| in 
    negative
     x-Richtung, falls b 
    positiv
     ist, bzw.
  • Verschiebung um |b| in 
    positive
     x-Richtung, falls b 
    negativ
     ist,
und durch
  • Verschiebung um |c| in positive y-Richtung, falls c positiv ist, bzw.
  • Verschiebung um |c| in negative y-Richtung, falls c negativ ist.
Die Form der Hyperbel ändert sich dabei nicht, solange der Zähler des Bruchterms gleich bleibt (hier a).
Aufgabenbeispiel:
graphik
Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.
Asymptote bei Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a ekx+b
  • Die Gleichung der Asymptote lautet y = b.
  • Wenn k positiv ist, schmiegt sich der Graph von f nach links an die Asymptote.
  • Wenn k negativ ist, schmiegt sich der Graph von f nach rechts an die Asymptote.