6.8 Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer

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  • Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.

    Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

    1. Setze g in E ein, d.h. ersetze x1, x2 und x3 in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
    2. Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
    3. Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.
    Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar
    • echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
    • unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Lagebeziehung Ebene - Gerade.

  • E
    :
    2x
    1
    +
    5x
    2
    −
    2x
    3
    −
    7
    =
    0
    g
    :
    X
    =
    −
    1
    2
    1
    +
    λ
     
    1
    −
    4
    3
    E enthält g
    g ist echt parallel zu E
    E und g schneiden sich im Punkt
       
     
    S
     
    −
    23
    24
     
    |
     
    2
    1
    6
     
    |
     
    9
    8
       
     
    S
     
    −
    23
    24
     
    |
     
    1
    5
    6
     
    |
     
    9
    8
       
     
    S
     
    −
    1
    1
    24
     
    |
     
    2
    1
    6
     
    |
     
    7
    8
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Wie bestimmt man die Lage einer Geraden zu einer Ebene und findet einen Schnittpunkt?
#613

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

  1. Setze g in E ein, d.h. ersetze x1, x2 und x3 in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
  2. Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
  3. Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.
Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar
  • echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
  • unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
Beispiel
E
:
x
1
+
5x
2
−
3x
3
+
9
=
0
g
:
X
=
1
−
2
0
+
λ
 
4
1
3
h
:
X
=
0
−
1
3
+
λ
 
2
−
3
1
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.