6.9 Gegenseitige Lage von Ebenen, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer

Hilfe
  • Ermittle für die beiden Ebenen jeweils einen Normalenvektor. Prüfe dann, ob die beiden Normalenvektoren parallel, senkrecht oder in anderem Winkel zueinander stehen. Untersuche, falls nötig, durch eine Punktprobe, ob die Ebenen identisch oder echt parallel sind.
  • Soll man nur die Lagebeziehung von zwei Ebenen ermitteln (und nicht die Schnittgerade aufstellen), so genügt es auch zu prüfen, ...
    • ... ob die Normalenvektoren linear abhängig sind (⇒ E und F parallel). In diesem Fall kann man durch Einsetzen des Aufpunkts der einen Ebene in die andere Ebene prüfen, ob E und F echt parallel oder identisch sind.
    • ... ob die Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen (⇒ auch E und F senkrecht zueinander).
    Trifft beides nicht zu, schneiden sich die Ebenen, jedoch nicht senkrecht.

Bestimme die Lagebeziehung der zwei gegebenen Ebenen.

  • E:
     
    3x
    1
    −
    8x
    2
    −
    2x
    3
    +
    7
    =
    0
    F:
     
    X
    =
    2
    0
    3
    +
    λ
    ·
    0
    1
    1
    +
    μ
    ·
    4
    −
    5
    3
    E und F sind identisch (E = F)
    E und F sind echt parallel (E || F und E ≠ F)
    E und F schneiden sich senkrecht (E ⊥ F)
    E und F schneiden sich, jedoch nicht senkrecht
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Wie kann man feststellen, ob zwei Ebenen parallel, senkrecht oder sich schneidend sind?
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Soll man nur die Lagebeziehung von zwei Ebenen ermitteln (und nicht die Schnittgerade aufstellen), so genügt es auch zu prüfen, ...
  • ... ob die Normalenvektoren linear abhängig sind (⇒ E und F parallel). In diesem Fall kann man durch Einsetzen des Aufpunkts der einen Ebene in die andere Ebene prüfen, ob E und F echt parallel oder identisch sind.
  • ... ob die Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen (⇒ auch E und F senkrecht zueinander).
Trifft beides nicht zu, schneiden sich die Ebenen, jedoch nicht senkrecht.