Lernvideo
Elementare gebrochen-rationale Funktionen
Kanal: Mathegym
Bei gebrochen-rationalen Funktionen sind die x-Werte auszuschließen ("Definitionslücken"), die zum Wert 0 im Nenner führen.
Bruchterme, bei denen x im Nenner auftritt, sind das Erkennungsmerkmal von gebrochen-rationalen Funktionen.
Der Parameter b im Term einer elementaren gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung y=a/(x+b)+c bewirkt eine Verschiebung entlang der x-Achse, der Parameter c eine Verschiebung entlang der y-Achse (siehe Beispiel).
Den Graphen der Funktion g mit dem Term erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term durch
x-Richtung, falls b ist, bzw.Verschiebung um |b| in x-Richtung, falls b ist,
und durch
- Verschiebung um |c| in positive y-Richtung, falls c positiv ist, bzw.
- Verschiebung um |c| in negative y-Richtung, falls c negativ ist.
Die Form der Hyperbel ändert sich dabei nicht, solange der Zähler des Bruchterms gleich bleibt (hier a).
Aufgabenbeispiel:
Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.
Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph annähert. Der Graph kommt der Asymptote dabei beliebig nahe, ohne sie zu berühren.
Oftmals sind Asymptoten senkrecht oder waagrecht verlaufende Geraden. Z.B.:
- "y = 5" drückt eine waagrechte Gerade durch den Punkt (0|5) aus.
- "x = 5" drückt eine senkrechte Gerade durch den Punkt (5|0) aus.
Bestimme alle waagrechten und senkrechten Asymptoten des Graphen und gib ihre Gleichungen an.
Gegeben ist die Funktion f mit dem Term
Fülle die Lücken in der Wertetabelle aus und gib die Gleichung der Asymptote an, die man daraus erkennen kann.
Anhand der Asymptoten und mithilfe eines Punkts des Graphen kann man bei elementaren gebrochen-rationalen Funktionen vom Graphen auf den Funktionsterm schließen (siehe Beispiel).
Für elementare gebrochen-rationale Funktionen kann man aus einem gegebenen Graphen auf den zugehörigen Funktionsterm der Form schließen, indem man …
- … die senkrechte und die waagrechte Asymptote am Graphen abliest,
- … damit im Funktionsterm die Werte der Paramter b und c festlegt,
- … einen Punkt des Graphen abliest und die Koordinaten dieses Punkts in den Funktionsterm einsetzt ("Punktprobe")
- … und die entstehende Gleichung nach dem Parameter a auflöst, um auch dessen Wert zu bestimmen.
Den gesuchten Funktionsterm erhält man schließlich durch Einsetzen der Werte von a, b und c in den allgemeinen Funktionsterm.
Aufgabenbeispiel:
Bestimme den zum Graphen passenden Funktionsterm.
Der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion kann die x-Achse und die y-Achse schneiden.
Punkte auf der x-Achse haben y-Koordinate 0, Punkte auf der y-Achse haben x-Koordinate 0.
Vorgehensweise, um die jeweils fehlende Koordinate zu bestimmen:
- Schnittpunkt mit der x-Achse: Löse die Gleichung f(x) = 0.
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Berechne f(0).
Gegeben ist die Funktion f mit dem Term und Definitionsmenge D = ℝ\{2}. Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen.
Der Parameter a im Term einer gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung y=a/x kann eine Streckung in y-Richtung und eine Spiegelung an der x-Achse bewirken (siehe Beispiel).
Den Graphen der Funktion g mit dem Term erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term durch
- Streckung um den Faktor |a| in y-Richtung und,
- falls a negativ ist, durch Spiegelung an der x-Achse.
Aufgabenbeispiel:
Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.