Quadratische Funktionen - Extremwertaufgaben - Mathematikaufgaben

Minimum und Maximum anhand von Grafiken ablesen können, Extremwertaufgaben/Optimierungsaufgaben im Sachzusammenhang

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    Der tiefste Punkt (falls vorhanden) des Graphen zeigt ein Minimum an, der höchste (falls vorhanden) ein Maximum.

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Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x1 und x2 schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
  • xS = (x1 + x2) : 2
    Begründung: xS (also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x1 ; x2]
  • yS = p(xS)
    d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm der Parabel
Man unterscheidet bei einer Parabel zwischen
  • Normalform   y = ax² + bx + c   ⇒ Ablesen des Schnittpunkts mit der y-Achse (0;c)
  • Scheitelform   y = a (x - xS)² + yS   ⇒ Ablesen des Scheitels S

Von der Normalform ausgehend erhält man die Scheitelform mithilfe der quadratischen Ergänzung.

Beispiel 1
Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung
y
=
1
3
 
x
2
−
6x
+
30
Die Parabel hat den Scheitel:
S
 
?
 
|
 
?
Beispiel 2
Bringe 
y
=
1
4
 
x
2
−
2x
+
1
 in Scheitelform und gib den Scheitel an.
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
  1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
  2. Term in Abhängigkeit von EINER Variable darstellen (falls im ersten Schritt noch nicht der Fall)
  3. anhand der Nullstellen- oder der Scheitelpunktform Scheitelpunkt bestimmen
  4. Frage beantworten
Beispiel
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basislänge 4 und der Höhe 3,5 ist ein Rechteck einbeschrieben. Bestimme Länge und Breite des Rechtecks mit dem maximalen Flächeninhalt.
Von der Scheitelpunktform
y = a⋅(x - xS) + yS
kommt man durch ausquadrieren bzw. dem Anwenden der binomischen Formeln zur Normalform:
y = a⋅x² + bx + c
Beispiel
Bringe in die Normalform und gib dann die Parameter a, b und c an:
y
=
−
5
·
x
+
2
2
−
1
Eine Parabel mit der Gleichung y = ax² + bx + c (Normalform) und dem Scheitel S(s ; t) lässt sich auch durch die Gleichung y = a (x − s)² + t (Scheitelform) ausdrücken.