exp und ln - Grenzwertbetrachtungen
Verhalten für x → ∞ und für x → x0 bei Funktionen, die sich u.a. aus exp oder ln zusammensetzen
Wie verhalten sich die Funktionen x^n und e^x für x → ∞ und x → −∞?
#553
Die natürliche Exponentialfunktion verändert sich wesentlich schneller als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
- für x → −∞ strebt das Produkt aus ex und xn gegen 0
- für x → ∞ strebt der Quotient aus xn und ex gegen 0
- für x → ∞ strebt die Differenz aus ex und xn gegen ∞
Beispiel
| = | ? |
Wie verhalten sich der Quotient aus ln(x) und x^n für x → ∞ und das Produkt aus ln(x) und x^n für x → 0^+?
#554
Die ln-Funktion verändert sich wesentlich langsamer als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
- für x → ∞ strebt der Quotient aus ln(x) und xn gegen 0
- für x → 0+ strebt das Produkt aus ln(x) und xn gegen 0
Beispiel
| = | ? |
Wie verhält sich die natürliche Logarithmusfunktion ln(x) an den Rändern ihres Definitionsbereichs?
#552
ln(x) strebt
- gegen −∞ für x → 0+
- gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
| = | ? |
Wie verhält sich die Exponentialfunktion exp(x) für x gegen plus oder minus unendlich?
#551
ex strebt
- gegen 0 für x → −∞
- gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
| = | ? |
