Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten, Matheübungen

Funktionen mit Funktionsterm a*x^n und ihre Graphen; Punkt- und Achsensymmetrie zum KOSY; Schnittpunkte zweier Potenzfunktionen bestimmen - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Bei einer Potenzfunktion mit der Funktionsgleichung y=axn entscheidet die Hochzahl n zusammen mit dem Vorfaktor a, von wo der Graph kommt und wohin er geht:
    • n ungerade, a positiv (z.B. 5x³): Graph verläuft von links unten nach rechts oben.
    • n ungerade, a negativ (z.B. -2x): Graph verläuft von links oben nach rechts unten.
    • n gerade, a positiv (z.B. ½x²): Graph verläuft von links oben nach rechts oben.
    • n gerade, a negativ (z.B. -x²): Graph verläuft von links unten nach rechts unten.
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Wie verläuft der Graph?

  • y
    =
    −
    x
    3
    Von links
     
       
     
    oben
     
       
     
    unten
    nach rechts
     
       
     
    oben
     
       
     
    unten
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Potenzfunktionen vom Grad n
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Potenzfunktionen vom Grad n

Kanal: Mathegym
Wie beeinflussen der Vorfaktor a und der Exponent n in der Funktionsgleichung y=ax^n den Verlauf des Graphen einer Potenzfunktion?
#716
Bei einer Potenzfunktion mit der Funktionsgleichung y=axn entscheidet die Hochzahl n zusammen mit dem Vorfaktor a, von wo der Graph kommt und wohin er geht:
  • n ungerade, a positiv (z.B. 5x³): Graph verläuft von links unten nach rechts oben.
  • n ungerade, a negativ (z.B. -2x): Graph verläuft von links oben nach rechts unten.
  • n gerade, a positiv (z.B. ½x²): Graph verläuft von links oben nach rechts oben.
  • n gerade, a negativ (z.B. -x²): Graph verläuft von links unten nach rechts unten.
Beispiel
Wie verläuft der Graph?
y
=
4x
7
Was versteht man unter einer Potenzfunktion und welche charakteristischen Eigenschaften und Spezialfälle hat sie?
#715
Potenzfunktionen sind Funktionen der Form:
y = axn

Spezialfälle:
  • n = 0 (konstante Funktion): y = a, Graph: waagerechte Gerade
  • n = 1 (lineare Funktion): y = ax, Graph: Ursprungsgerade mit Steigung a
  • n = 2 (quadratische Funktion): y = ax2, Graph: gestauchte / gestreckte Parabel mit Scheitel S ( 0 | 0 )
Die Graphen von Potenzfunktionen haben charakteristische Eigenschaften, die oft davon abhängen, ob die Hochzahl n gerade oder ungerade ist.
  • Wertemenge:
    n gerade: keine negativen Zahlen
    n ungerade: alle reellen Zahlen

  • Symmetrie:
    n gerade: Achsensymmetrie zur y-Achse
    n ungerade: Punktsymmetrie zum Ursprung

  • Vorfaktor a
    Der Wert des Parameters a ist der Funktionswert an der Stelle x = 1.
    a>0: Streckung / Stauchung in y-Richtung
    a<0: zusätzliche Spiegelung an der x-Achse
Beispiel
Gib die zugehörige Funktionsgleichung an
graphik
y
=
?x
?
Wie bestimmt man die Schnittpunkte der Graphen zweier Potenzfunktionen?
#881
Die Graphen-Schnittpunkte zweier Potenzfunktionen der Art a·xn erhält man, indem man der Reihe nach...
  1. (wie üblich) die beiden Funktionsterme zunächst gleichsetzt,
  2. mit der linken Seite subtrahiert, so dass eine "...=0"-Gleichung entsteht,
  3. auf der linken Seite die kleinere der beiden x-Potenzen ausklammert,
  4. die beiden Faktoren (x-Potenz und Klammer dahinter) nacheinander gleich null setzt.
Bemerkung: Beide Graphen schneiden sich immer im Ursprung des Koordinatensystems. Ob es weitere Schnittpunkte gibt und wie viele, erkennt man, indem man die Graphen skizziert. Beachte beim Lösen auch die symmetrischen Eigenschaften der Graphen, damit sparst du dir Rechenarbeit.
Beispiel
f
 
x
=
1
3
 
x
7
g
 
x
=
3
 
x
5
Ermittle die Anzahl der Schnittpunkte beider Graphen durch grobe Skizze und bestimme die genauen Koordinaten rechnerisch.