Stochastik - Binomialverteilung - Matheübungen und Online-Aufgaben

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 1

Gib n und p an, wenn die Zufallsgröße X (annähernd) binomialverteilt ist. Ansonsten gib "!" an.
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

Der Magier wählt aus dem Publikum drei Personen aus. Diese sollen nacheinander jeweils eine Ziffer von 0 bis 9 nennen. Eine bereits genannte Ziffer darf nicht noch einmal genannt werden. Danach zieht er einen Zettel aus einem bis dahin verschlossenen Umschlag, auf dem genau diese Ziffern in der richtigen Reihenfolge stehen.

X = Anzahl der genannten geraden Ziffern

n =

p =

Wenn du ein Benutzerkonto hast, logge dich bitte zuvor ein.

Hilfe

Notizen

Zeichen

Lösung

Achtung

Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt die Aufgabe als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diesen Level verschlechtert sich. Tipp: Sieh dir vor dem Anzeigen der Lösung die Hilfe zu dieser Aufgabe an.

Stoff zum Thema

Wann ist eine Zufallsgröße X binomialverteilt?

#1222

Eine Zufallsgröße X heißt binomialverteilt nach B(n;p), wenn X die Werte 0, 1, 2, ..., n (n natürliche Zahl) annimmt und wenn P(X=k)=(n_k)·p^k·(1−p)^n−k gilt.

Zählt X die Anzahl der Treffer bei einem Bernoulli-Experiment, so ist X binomialverteilt.

Wie unterscheidet man bei binomialverteilten Zufallsgrößen und welche Experimente folgen keiner Binomialverteilung?

#1151

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\)) ist zwischen nicht kumuliert (\(P(X=k)\)) und kumuliert (\(P(X\le k)\)) zu unterscheiden.

Berechnung mit dem GTR

Gegeben: Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer:

\[ B_{n,p}(k)=P(X=k)=\operatorname{binompdf}(n,p,k) \]

Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer:

\[ F_{n,p}(k)=P(X\le k)=\operatorname{binomcdf}(n,p,k) \]

Hinweis: Bei vielen Experimenten (z. B. Ziehen mehrerer Kugeln auf einmal oder hintereinander ohne Zurücklegen) liegt keine Bernoulli-Kette vor; dann gelten andere Modelle/Formeln (z. B. hypergeometrische Verteilung).

Beispiel 1

Ein Würfel wird zehnmal hintereinander geworfen.

A: Es fällt genau dreimal die Augenzahl \(\displaystyle 6\text{.}\)

B: Beim vierten Wurf fällt zum ersten Mal die Augenzahl \(\displaystyle 6\text{.}\)

Welches Ereignis passt jeweils zum Term? Begründe.

a) \(\displaystyle \binom{10}{3}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{3}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{7}\)

b) \(\displaystyle \left(\frac{5}{6}\right)^{3}\cdot\frac{1}{6}\)

Beispiel 2

Aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen 4 weiß sind, werden 5 durch Zufall gezogen. Gib jeweils einen Term an für die Wahrscheinlichkeit…

a) dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.

b) höchstens dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.

c) dreimal Weiß, wenn hintereinander ohne Zurücklegen gezogen wird.

d) dreimal Weiß, wenn alle 5 Kugeln auf einmal gezogen werden.

Beispiel

Beschreibe ein Ereignis im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem gegebenen Term berechnet werden kann.

Ein Spielwürfel wird mehrmals hintereinander geworfen.

\(1-\left(\frac{5}{6}\right)^{8}-8\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{7}\)

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit P(X=r) in einer Bernoulli-Kette der Länge n?

#703

Bernoulli Formel:

Für eine Bernoulli-Kette der Länge n lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(X=r), dass die Zufallsgröße X genau r Treffer (Trefferwahrscheinlichkeit p) hat mit der Bernoulli-Formel berechnen:

B_n,p = P(X=r) = (ⁿ_r) · p^r · (1 − p)^n-r

Beispiel

Wie oft muss ein Würfel mindestens geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens eine 1 zu würfeln?

Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten der Form P(Z≤k) und P(Z>k)?

#509

Wahrscheinlichkeiten der Art P( X ≤ k ) einer binomial verteilten Zufallsgröße X können mit unterschiedlichen Hilfsmitteln (WTR, CAS/MMS, GTR, Tafelwerk) bestimmt werden. Man beachte, welche Hilfsmittel für die Prüfung zugelassen sind!

Um P( Z > k ) zu bestimmen, ermittelt man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" und zieht diesen dann von 1 ab.

Beispiel 1

150; p

0,3

X ≥ 50

≈ ▇

Beispiel 2

Eine Urne enthält eine weiße und 7 schwarze Kugeln. Wie oft musst du mindestens eine Kugel (mit Zurücklegen) ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 2-mal "weiß" zu ziehen?

Antwort: mindestens ?-mal

Beispiel 3

Die Verarbeitung von Bauteilen wird als "sehr gut" bezeichnet, wenn man in einer Stichprobe von 100 Stück mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 96% maximal 3 defekte Bauteile findet. Wie hoch darf der Anteil an defekten Bauteilen maximal sein?

Antwort:

? % (gerundet auf eine Dezimale)

Welche Formeln gelten für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Trefferzahl X in einer Bernoulli-Kette?

#710

In einer Bernoulli-Kette der Länge n und Treffer-Wahrscheinlichkeit p bezeichne die Zufallsgröße X die Trefferzahl. Dann gilt:

Erwartungswert μ(X) =n·p
Standardabweichung σ(X) = √ n·p·(1-p)

Beispiel 1

Die Zufallsgröße \(X\) sei binomialverteilt. Bestimme ...

a) ... \(n\) und \(\sigma\) für \(\mu=12\) und \(p=\frac{1}{4}\text{.}\)

b) ... \(n\) und \(p\) für \(\mu=40\) und \(\sigma=\sqrt{24}\text{.}\)

Beispiel 2

Eine Münze wird 200-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Wappen".

Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert innerhalb der 2σ-Umgebung annimmt:

−

2σ

≤

2σ

≈

Beispiel

Das Diagramm beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\text{.}\) Bestimme \(p\text{.}\)

\((n=2)\)

\((n=4)\)

Was sind die Sigmaregeln und unter welcher Bedingung sind sie zuverlässig?

#706

Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:

ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].

Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:

90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].

Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.

Beispiel

Eine Münze wird 50-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Zahlen".

Gib ein Intervall an, in dem sicher 90% der Werte von X liegen.

Stochastik - Binomialverteilung, Matheübungen

Anwendungen zur Binomialverteilung und kumulativen Binomialverteilung; Sigma-Umgebungen - G8 Lehrplan - 56 Aufgaben in 14 Levels

Aufgabe

Lösung

Stoff zum Thema

Notizen