Wiederholen - vertiefen - vernetzen: Kapitel 5, Matheübungen

Lineare Gleichungssysteme - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-9. Klasse)

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 9.

Löse mit dem Additionsverfahren!

  • x
    +
    y
    +
    z
    		=
    9
    x
    −
    y
    +
    z
    		=
    3
    x
    +
    y
    −
    z
    		=
    1
    x
    =
    , y
    =
    , z
    =
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Wie kann man ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen lösen?
#910
Ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten lässt sich nach demselben Rezept lösen wie bei zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Z.B. mit dem Einsetzungsverfahren:
  1. Löse eine Gleichung nach einer Unbekannten auf.
  2. Setze in die anderen beiden Gleichungen ein.
  3. Nun hast du nur noch zwei Gleichungen und zwei Unbekannte; löse wie gewohnt.
  4. Ganz zum Schluss, wenn du die beiden Unbekannten aus Schritt 3 ermittelt hast, setze diese in die Gleichung aus Schritt 1 ein und ermittle damit die dritte Unbekannte.
Beispiel
Von drei Unbekannten a, b und c weiß man:
  • Die Summe von a, b, c und 17 ist gleich das Doppelte der Differenz von a und b
  • Die Summe von a und b ist gleich das Doppelte von c
  • Das Dreifache von a ist gleich das Vierfache von b
Bestimme a, b und c mittels geeignetem Gleichungssystem.
Wie funktioniert das Gauß-Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme?
#728

Gauß-Verfahren

Ein lineares Gleichungssystem kann übersichtlich gelöst werden, indem man es zunächst auf Stufenform bringt. Dies bezeichnet man als Gauß-Verfahren.

Dabei sind folgende Umformungen zugelassen:

  • Zwei Gleichungen werden miteinander vertauscht.
  • Eine Gleichung wird mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert.
  • Eine Gleichung wird durch die Summe/Differenz von ihr und einer anderen Gleichung des Systems ersetzt.

Wenn man etwas Übung hat, können auch mehrere dieser Schritte gleichzeitig durchgeführt werden.

Wenn man das lineare Gleichungssystem auf Stufenform gebracht hat, löst man die Gleichungen schrittweise nach den gegebenen Variablen auf.

Es ist ganz wichtig, dass du das Gauß-Verfahren verstehst, damit du beim Lösen von Gleichungssystemen mit dem GTR in der Lage bist, die Taschenrechner-Anzeige korrekt interpretieren zu können.

Beispiel
Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren:
2x
1
 
 
4x
1
 
−
3x
2
+
2x
2
+
2x
2
 
−
x
3
+
3x
3
+
3x
3
 
=
1
 
=
1
 
=
6
 
x
1
=
?
x
2
=
?
x
3
=
?