Wie ist das Pascalsche Dreieck aufgebaut und wofür wird es verwendet?

Aufbau des pascalschen Dreiecks:
  • In der obersten Zeile des pascalschen Dreiecks (n = 0) steht eine 1.
  • In der Zeile darunter (n = 1) stehen zwei 1er.

Dann setzt sich das Dreieck in folgender Weise nach unten fort:
  • Die Einträge am linken und rechten Rand sind jeweils 1.
  • Die anderen Einträge sind jeweils die Summe der zwei darüberstehenden Einträge.
In jeder neuen Zeile steht also genau ein Eintrag mehr als in der darüber liegenden.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
usw.


Verwendung des pascalschen Dreiecks:
Mithilfe des pascalschen Dreiecks kann man schnell beliebige ganzzahlige Potenzen von Binomen ausmultiplizieren.
Denn:
In Zeile n des pascalschen Dreiecks stehen die Koeffizienten, die zur Berechnung von (…)n benötigt werden.
Beispiel
Multipliziere mithilfe des pascalschen Dreiecks aus:
a
+
b
2
=
?
a
−
b
2
=
?
Jeder Summand des ausmultiplizierten Binoms besteht aus einem Koeffizienten, einer Potenz von a und einer Potenz von b. Die Koeffizienten werden aus Zeile n des pascalschen Dreiecks abgelesen. Die Potenzen von a nehmen von links nach rechts ab, die Potenzen von b nehmen von links nach rechts zu.
  • Potenzen von a
Exponent des Binoms ist 2, daher sind die Potenzen von a von links nach rechts:
a
2
 
 
a
1
 
 
a
0
Vereinfacht:
a
2
 
 
a
 
 
1
  • Potenzen von b
Exponent des Binoms ist 2, daher sind die Potenzen von b von links nach rechts:
b
0
 
 
b
1
 
 
b
2
Vereinfacht:
1
 
 
b
 
 
b
2
  • Koeffizienten
Die Koeffizienten liest man aus Zeile 2 des pascalschen Dreiecks ab:
1
 
 
2
 
 
1
  • Vorzeichen
Ist das Binom eine Summe, werden alle Teilterme durch + verbunden.
Ist das Binom eine Differenz, wechseln sich + und − ab, wobei immer ein Minus steht, wenn im folgenden Teilterm der Exponent von b ungerade ist.
Also:
a
+
b
2
=
1
·
a
2
·
b
0
+
2
·
a
1
 
b
1
+
1
·
a
0
·
b
2
=
a
2
+
2ab
+
b
2
Genauso ergibt sich:
a
−
b
2
=
1
·
a
2
·
b
0
−
2
·
a
1
 
b
1
+
1
·
a
0
·
b
2
=
a
2
−
2ab
+
b
2
Siehe auch

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