Wie bestimmt man die Fläche zwischen zwei Graphen in einem Intervall, wenn deren Verlauf unbekannt ist?
Um die Fläche zu ermitteln, die zwischen zwei Graphen Gf und Gg im Intervall I = [a;b] (d.h. nach links und rechts begrenzt durch die Vertikalen x = a und x = b) liegt, gehe wie folgt vor:
- Bilde die Differenz d = f − g und vereinfache den Term so weit wie möglich.
- Ermittle eine Stammfunktion D von d.
- Überprüfe, ob und wo sich beide Graphen im Intervall I schneiden. Kommst du mit dem Ansatz f(x) = g(x) rechnerisch nicht weiter, führt evtl. eine Skizze weiter (es reicht, wenn Schnittstellen durch die Skizze ausgeschlossen werden können!).
- Evtl. Schnittstellen, die im Intervall I liegen, unterteilen I in Teilintervalle. Integriere nun die Differenz d über die einzelnen Teilintervalle. Dabei kannst du immer auf dieselbe Stammfunktion D zurückgreifen.
- Addiere zum Schluss die BETRÄGE der einzelnen Integrale.
Beispiel
Bestimme den Inhalt der Fläche, welche von den beiden Parabeln p und q mit
und
eingeschlossen wird.
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- Schnittstellen bestimmen
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- Bestimmtes Integral
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| vereinfacht (Symmetrie) | ||||||||||||||||||||||||||||||
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| Stammfunktion | ||||||||||||||||||||||||||||||
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| "obere minus untere Grenze" | ||||||||||||||||||||||||||||||
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Hinweis: da man weiß, dass der Graph von g im Integrationsintervall über dem von f liegt, kann man auf die Betragstriche verzichten.
Lernvideo
FLÄCHE zwischen 2 Graphen berechnen – Integral zwischen zwei Funktionen, Kurven
Kanal: MathemaTrick
