Wie bestimmt man die Fläche zwischen zwei Graphen in einem Intervall, wenn deren Verlauf unbekannt ist?
- Bilde die Differenz d = f − g und vereinfache den Term so weit wie möglich.
- Ermittle eine Stammfunktion D von d.
- Überprüfe, ob und wo sich beide Graphen im Intervall I schneiden. Kommst du mit dem Ansatz f(x) = g(x) rechnerisch nicht weiter, führt evtl. eine Skizze weiter (es reicht, wenn Schnittstellen durch die Skizze ausgeschlossen werden können!).
- Evtl. Schnittstellen, die im Intervall I liegen, unterteilen I in Teilintervalle. Integriere nun die Differenz d über die einzelnen Teilintervalle. Dabei kannst du immer auf dieselbe Stammfunktion D zurückgreifen.
- Addiere zum Schluss die BETRÄGE der einzelnen Integrale.
| = |
|
| = |
|
- Schnittstellen bestimmen
| = |
| ||||||||||||||||||||||
| = |
|
| |||||||||||||||||||||
| = |
|
| |||||||||||||||||||||
| = |
|
| |||||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||||
- Bestimmtes Integral
| = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| vereinfacht (Symmetrie) | ||||||||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| Stammfunktion | ||||||||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| "obere minus untere Grenze" | ||||||||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
FLÄCHE zwischen 2 Graphen berechnen – Integral zwischen zwei Funktionen, Kurven
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von \(\displaystyle f(x)=\frac{2}{x+1}\) und \(\displaystyle g(x)=x\) im Intervall \(\displaystyle I=[0;2]\text{.}\) Gib das Ergebnis exakt und auf zwei Nachkommastellen gerundet an.
1. Differenz bilden
Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen, nach links und rechts begrenzt durch die Vertikalen bei den Intervallgrenzen. Man bildet zunächst die Differenz:
\[d(x)=f(x)-g(x)=\frac{2}{x+1}-x\]
2. Stammfunktion ermitteln
Im gesamten Intervall ist \(x + 1\) positiv. Eine Stammfunktion von \(d\) lautet daher:
\[D(x)=2\ln(x+1)-\frac{x^2}{2}\]
3. Auf Schnittstellen prüfen
Man setzt die Funktionsterme gleich. Da \(x + 1\) im betrachteten Intervall nicht null ist, darf man damit multiplizieren:
\[\begin{aligned}\frac{2}{x+1}&=x &|&\;\cdot(x+1)\\2&=x^2+x &|&\;-2\\0&=x^2+x-2\\0&=(x+2)(x-1)\end{aligned}\]
Die Lösungen sind \(x_1 = −2\) und \(x_2 = 1\text{.}\) Nur die Schnittstelle \(x_2 = 1\) liegt in \(I\text{.}\) Man teilt deshalb das Integrationsintervall in \([0;1]\) und \([1;2]\text{.}\)
4. Über die Teilintervalle integrieren
Für beide Integrale verwendet man dieselbe Stammfunktion \(D\text{:}\)
\[\begin{aligned}I_1&=\int_0^1 d(x)\,dx\\&=\left[2\ln(x+1)-\frac{x^2}{2}\right]_0^1\\&=2\ln2-\frac12\\&\approx0{,}8863\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}I_2&=\int_1^2 d(x)\,dx\\&=\left[2\ln(x+1)-\frac{x^2}{2}\right]_1^2\\&=2\ln3-2-\left(2\ln2-\frac12\right)\\&=2\ln3-2\ln2-\frac32\\&\approx-0{,}6891\end{aligned}\]
5. Beträge addieren
Das zweite Integral ist negativ, weil dort \(G_f\) unter \(G_g\) liegt. Für den Flächeninhalt addiert man deshalb die Beträge der beiden Integrale:
\[\begin{aligned}A&=|I_1|+|I_2|\\&=2\ln2-\frac12+\frac32-2\ln3+2\ln2\\&=\underline{1+4\ln2-2\ln3}\\&\approx\underline{1{,}58}\end{aligned}\]
Wichtig: Erst nach dem Bilden der Beträge addieren. Der Betrag des Integrals über das gesamte Intervall würde hier nicht den gesuchten Flächeninhalt liefern.
