Mechanik - gleichmäßige Beschleunigung: Bewegungsfunktionen, Physikübungen

Zeit-Ort-Funktion, Zeit-Geschwindigkeit-Funktion, freier Fall, senkrechter Wurf, kritische Situationen im Straßenverkehr - Lehrplan

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Zwei Bewegungen beinhalten eine Beschleunigung.
  • Ändert sich die Geschwindigkeit des Körpers? Wenn ja, beinhaltet die Bewegung eine Beschleunigung. Auch das "Bremsen" ist eine Beschleunigung im physikalischen Sinne.
  • Bewegung mit konstanter Beschleunigung (a ≠ 0)

    Ein Körper bewegt sich mit konstanter Beschleunigung (a ≠ 0), wenn sich seine Geschwindigkeit gleichmäßig ändert. Die Richtung der Beschleunigung bleibt dabei gleich.

    Wenn man zu zwei Zeitpunkten t1 und t2 die zugehörigen Geschwindigkeiten v1 und v2 kennt, kann man mit
    Δv = v2 − v1
    Δt = t2 − t1
    die konstante Beschleunigung a für das Zeitintervall [t1; t2] berechnen:

    a = Δv/Δt

    Die Beschleunigung hat daher die Basiseinheit m/s².

Welche Bewegung(en) beinhalten eine Beschleunigung? Keine davon ist auch möglich.

  • graphik
    Ein Auto fährt an einer grünen Ampel an.
    Ein Lkw fährt mit 
    80
     
    km
    h
     auf der Autobahn.
    Ein Auto fährt auf einer Landstraße hinter einem Lkw. Bei der richtigen Gelegenheit überholt das Auto den Lkw.
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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit
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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit

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Bewegung mit konstanter Beschleunigung (a ≠ 0)

Ein Körper bewegt sich mit konstanter Beschleunigung (a ≠ 0), wenn sich seine Geschwindigkeit gleichmäßig ändert. Die Richtung der Beschleunigung bleibt dabei gleich.

Wenn man zu zwei Zeitpunkten t1 und t2 die zugehörigen Geschwindigkeiten v1 und v2 kennt, kann man mit
Δv = v2 − v1
Δt = t2 − t1
die konstante Beschleunigung a für das Zeitintervall [t1; t2] berechnen:

a = Δv/Δt

Die Beschleunigung hat daher die Basiseinheit m/s².
Beispiel
Eine Pistole beschleunigt die Kugel für 
0,0800
 
s
 (näherungsweise) gleichmäßig und geradlinig mit 
4500
 
m
s
2
. Berechne die Geschwindigkeit, die die Kugel nach dem Beschleunigungsvorgang erreicht.
▇
 
m
s
Bewegungen mathematisch modellieren

Um eine Bewegung eines Körpers mathematisch beschreiben zu können, muss zunächst das Bezugs- und Koordinatensystem festgelegt werden. Dazu gehört:
  • Zeitlicher Nullpunkt: Welches Ereignis legt man fest, das zum Zeitpunkt null passiert?
  • Örtlicher Nullpunkt: Welcher Ort der Wirklichkeit soll in der Modellierung dem Ort null entsprechen?
  • Richtung(en): In welche Richtung der Wirklichkeit zeigt die Ortsachse (bzw. die Ortsachsen)?
Skizze eines Autos am Hang zum zeitlichen Nullpunkt:

Zum zeitlichen Nullpunkt (0 s) rollt das Auto los. Der örtliche Nullpunkt (0 m) ist hier der Ort, an dem die fahrende Person (orange) zum Zeitpunkt null ist. Die Ortsachse s (blauer Pfeil) zeigt entgegen der Rollrichtung.

Je nach Wahl des Bezugs- und Koordinatensystems ergeben sich unterschiedliche Bewegungsfunktionen. Man versucht meist das System so zu wählen, dass sich einfache Bewegungsfunktionen ergeben.
Beispiel
Wähle die zum Text und der Zeit-Ort-Funktion passende Modellierung aus.
graphik
Ein Auto fährt konstant mit 
8
 
m
s
 durch eine Tempo-30-Zone auf einer geraden Straße. Zwanzig Meter vor dem Schild, das das Ende der Zone markiert, beschleunigt die Fahrerin gleichmäßig mit 
2
 
m
s
2
 und erreicht fünfzig Meter nach dem Schild eine Geschwindigkeit von etwa 
18,5
 
m
s
.
Zeit-Ort-Funktion des Beschleunigungsvorgangs (ohne Basiseinheiten):
s(t)
=
1
2
·
2t
2
+
8t
−
20
  • Zeitlicher Nullpunkt: Das Auto
  • Örtlicher Nullpunkt:
  • Richtung: Ortsachse zeigt
Funktionen für Bewegungen mit konstanter Beschleunigung

Zeit-Ort-Funktion:
s(t) = 1/2 a t² + v0 t + s0

Zeit-Geschwindigkeit-Funktion:
v(t) = a t + v0

Dabei ist
  • a die konstante Beschleunigung,
  • v0 die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0,
  • s0 der Anfangsort zum Zeitpunkt t = 0.
Beispiel 1
Wähle die zum Text passende Zeit-Ort-Funktion (ohne Basiseinheiten) aus.
Jonas lässt aus 
1,2
 
m
 Höhe einen Stein aus seiner Hand in einen Brunnen fallen. Zum Zeitpunkt 
0
 
s
 lässt er den Stein los. Der örtliche Nullpunkt liegt auf der Erdoberfläche und die Ortsachse zeigt nach oben.
▇ 
s(t)
=
1
2
 
gt
 
▇ 
s(t)
=
1
2
 
gt
2
−
1,2t
▇ 
s(t)
=
1
2
 
gt
2
+
1,2t
▇ 
s(t)
=
−
gt
2
▇ 
s(t)
=
−
1
2
 
gt
2
+
1,2t
▇ 
s(t)
=
−
1
2
 
gt
2
+
1,2
 
Beispiel 2
Ein E-Roller fährt geradeaus mit einer konstanten Geschwindigkeit von 
15
 
m
s
 und beginnt am Ort 
10
 
m
 zum Zeitpunkt 
t
=
0
 
s
 gleichmäßig abzubremsen. Pro Sekunde wird er dabei um 
2,0
 
m
s
 langsamer.
Zeit-Ort-Funktion des Bremsvorgangs (ohne Einheiten):
s(t)
=
1
2
▇
t
2
+
▇
t
+
▇
Beispiel 3
Sieh dir die Bewegung in GeoGebra an. Ergänze die Zeit-Ort-Funktion in Basiseinheiten. Runde - wenn nötig - auf ganze Zahlen.
Gegeben ist ein GeoGebra-Arbeitsblatt, Screenshots:
graphik
    
    
graphik
Zeit-Ort-Funktion (keine Einheiten eingeben):
s(t)
=
1
2
▇
t
2
+
▇
t
+
▇
Beispiel 4
Beim 100 m-Sprint beschleunigt Shericka Jackson (*1994) aus dem Stand von der Startlinie gleichmäßig mit 
8,0
 
m
s
2
 bis zur viertelten Strecke, die durchgehend geradlinig verläuft. Berechne die Zeit ihres Beschleunigungsvorgangs.
  • Zeitlicher Nullpunkt: Beginn der Beschleunigung
  • Örtlicher Nullpunkt: Startlinie
  • Richtung: Ortsachse zeigt in Laufrichtung.
▇
 
s
Beispiel 5
Ein Auto beschleunigt geradeaus gleichmäßig bei einem Stoppschild aus dem Stand mit 
0,80
 
m
s
2
.
  • Zeitlicher Nullpunkt: Beginn der Beschleunigung.
  • Örtlicher Nullpunkt: Stoppschild
  • Richtung: Ortsachse zeigt in Fahrtrichtung.
Berechne die Geschwindigkeit des Autos am Ort 
250
 
m
:
v
=
▇
 
m
s
Beispiel 6
Ein Auto fährt auf einer geraden Straße konstant mit 
25,2
 
km
h
 durch eine Tempo-30-Zone und überholt während 
8,0
 
s
 mit einer konstanten Beschleunigung eine Rennradfahrerin. Für den Überholvorgang benötigt das Auto 
88
 
m
.
a
=
▇
 
m
s
2
Geschwindigkeit des Autos direkt nach dem Überholvorgang:
v
=
▇
 
m
s
Beispiel 7
Auf dem Weg in den Strandurlaub fährt Jakob schon seit acht Stunden durch die Nacht. Auf der A1 Richtung Florenz fährt er mit 
115,2
 
km
h
, als sich plötzlich der Verkehr staut. 
115
 
m
 vor ihm stehen die Fahrzeuge auf allen Fahrbahnen. Jakob reagiert nach 
1,5
 
s
 und führt eine Vollbremsung mit 
8,00
 
m
s
2
 durch.
▇ Es kommt zu einem Unfall.
▇ Es kommt zu keinem Unfall.
▇ Bei einer Sekunde Reaktionszeit kommt es nicht zu einem Unfall.
▇ Jakob hätte den Unfall nicht vermeiden können.
▇ Man sollte nicht so lange am Stück fahren, da die Aufmerksamkeit leidet.
Beispiel 8
Nina fährt mit ihrem Auto in der Dämmerung auf einer geraden Landstraße, die auf 
80
 
km
h
 beschränkt ist. Plötzlich springt ein Reh auf die Straße. Nina steigt voll auf die Bremse und hält auf das Reh zu. Nach 
4,00
 
s
 bremsen und 
48,0
 
m
 kommt sie gerade noch rechtzeitig zum Stillstand.
Nina hat an die Geschwindigkeitsbegrenzung gehalten, weil ihre Geschwindigkeit vor dem Abbremsen betrug.