Stochastik - Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung
Zusammenhang von n, p, μ und σ bei binomialverteilten Zufallsgrößen; Bestimmung von p aus dem Diagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung; Wahrscheinlichkeit dafür, dass X um höchstens σ, 2σ usw. vom Erwartungswert abweicht
In einer Bernoulli-Kette der Länge n und Treffer-Wahrscheinlichkeit p bezeichne die Zufallsgröße X die Trefferzahl. Dann gilt:
- Erwartungswert μ(X) =n·p
- Standardabweichung σ(X) = √ n·p·(1-p)
Beispiel
Eine Münze wird 200-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Wappen".
Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert innerhalb der 2σ-Umgebung annimmt:
| ?% |
Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:
- ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
- ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
- ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].
Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:
- 90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
- 95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
- 99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].
Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.
Beispiel
Eine Münze wird 50-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Zahlen".
Gib ein Intervall an, in dem sicher 90% der Werte von X liegen.