Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt

b−r = 1 / br

Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt

b1/n = n√b

Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt

bm/n = n√(bm) = (n√b)m

Beispiel 1
27
2
3
=
?
 
          
 
0,75
2
=
?
Beispiel 2
Vereinfache jeweils so, dass die Variable nicht immer Nenner oder unter der Wurzel steht:
2
3x
2
 
          
 
3
64
27a
Beispiel 3
Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:
3
25
9
 
          
 
1
8
Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung

T(x)r = a

lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:

T(x) = a1/r

Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r
  • eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
  • eine echt rationale Zahl ist: x1/3 = -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Beispiel
Löse die folgenden beiden Gleichungen:
1
3
 
x
+
1
3
4
=
8
 
          
 
3
x
2
2
=
1
2
Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Beispiel
Überprüfe jeweils auf Äquivalenz:
x
2
 
und
 
x
2
 
          
 
x
2
3
 
und
 
x
3
Mathe üben

Jetzt online üben und selber rechnen!

47 Mathe-Aufgaben zum Theme "Potenzen mit rationalen Exponenten"
Aufgaben rechnen