Zweite Ableitung/Krümmung/Wendepunkt
Bestimmung der lokalen Krümmung eines Graphen / maximaler Krümungsintervalle / relativer Extrema mit Hilfe der zweiten Ableitung. Zusammenhang der Graphen von f, f´und f ´´. Bestimmung von Wendepunkten und Wendetangenten.
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Zweite Ableitung und Krümmung
Kanal: Mathegym
Leitet man f ab, so erhält man f ´ (erste Ableitung von f).
Leitet man f ´ ab, so erhält man f ´´ (zweite Ableitung von f).
Um f ´´ bilden zu können, muss f zweimal differenzierbar sein.f bzw Gf | f ´ | f ´´ |
streng monoton zunehmend | positiv | |
streng monoton abnehmend | negativ | |
linksgekrümmt | streng monoton zunehmend | positiv |
rechtsgekrümmt | streng monoton abnehmend | negativ |
Beispiel
Lies das jeweilige Vorzeichen von f(-1), f '(-1) und f ''(-1) ab. Gib jeweils ein möglichst großes Intervall an (geschätzt), in dem f, f ' bzw. f '' positiv ist.
Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt n+1 Unbekannte. Zur eindeutigen Bestimmung der Funktionsgleichung wird ein Gleichungssystem benötigt, das n+1 Gleichungen enthält.
Vorgehensweise, um die Funktionsgleichung zu bestimmen:
- Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung mit ihren Ableitungen auf.
- "Übersetze" alle gegebenen Eigenschaften in mathematische Gleichungen.
- Stelle das Gleichungssystem auf, indem du die Koordinaten in die gefundenen Gleichungen einsetzt.
- Löse das Gleichungssystem
- Setze die gefundene Lösung in die Funktionsgleichung ein
Beispiel 1
Eine Funktion 4. Grades hat verläuft durch den Ursprung und besitzt in H(2|3) einen Hochpunkt, in T(4|-2) einen Tiefpunkt. Reicht die gegebene Information aus, um die Gleichung der ganzrationalen Funktion eindeutig zu bestimmen?
Beispiel 2
Eine Funktion 2. Grades hat einen Tiefpunkt bei (0|1) und geht durch den Punkt P(2|9).
f(x) | = |
|
Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:
Gf besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a
⇔
f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a
Beispiel
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
| = |
|
Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
Beispiel
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion
| = |
|
Sei a eine Nullstelle der ersten Ableitung, also f ´(a) = 0. Dann gilt:
f ´´ (a ) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = a
f ´´ (a ) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = a
Vorsicht: Aus f ´´ (a) = 0 folgt NICHT, dass kein relatives Extremum vorliegt. Überprüfe in diesem Fall f ´ auf Vorzeichenwechsel an der Nullstelle x = a. Zur Erinnerung:VZW +/- von f ´ ⇔ relatives Maximum
VZW -/+ von f ´ ⇔ relatives Minimum
kein VZW von f´ ⇔ Terrassenpunkt