09.2 Trigonometrie - allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion, Matheübungen

Abwandlungen der normalen Sinus- und Kosinuskurve (bzgl. Amplitude, Periode, Verschiebung in x- und y-Richtung) Verschiebung in x-Richtung ist optional. - Lehrplan - 36 Aufgaben in 8 Levels

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    Durch bestimmte Vorfaktoren lassen sich Amplitude und Periode der normalen Sinuskurve verändern. Amplitude beschreibt die Ausprägung in y-Richtung, normalerweise beträgt sie 1. Unter Periode versteht man die Länge des Intervalls, indem sich der Graph nicht wiederholt, normalerweise beträgt diese 2π. Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
    • y = a·sin(x) in y-Richtung gestreckt (|a| > 1) bzw. gestaucht (|a| < 1). Ist a negativ, erscheint der Graph zudem an der x-Achse gespiegelt.
    • y = sin(b·x), b>0, in x-Richtung gestreckt (0 < b < 1) bzw. gestaucht (b > 1). Ihre Periode ergibt sich aus 2π / b.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Welche Gleichung passt zum abgebildeten Graph?
    • graphik
    y
    =
    sin
    3
    ·
    x
    y
    =
    sin
    1,5
    ·
    x
    y
    =
    3
    +
    sin
    x
     
       
     
    y
    =
    1,5
    +
    sin
    x
    y
    =
    3
    ·
    sin
    x
    y
    =
    3
    2
    ·
    sin
    x
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Allgemeine Sinusfunktion

Kanal: Mathegym
Wie beeinflussen Parameter die Amplitude und Periode der Sinusfunktion und wann kommt es zu Streckung, Stauchung oder Spiegelung?
#337
Durch bestimmte Vorfaktoren lassen sich Amplitude und Periode der normalen Sinuskurve verändern. Amplitude beschreibt die Ausprägung in y-Richtung, normalerweise beträgt sie 1. Unter Periode versteht man die Länge des Intervalls, indem sich der Graph nicht wiederholt, normalerweise beträgt diese 2π. Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
  • y = a·sin(x) in y-Richtung gestreckt (|a| > 1) bzw. gestaucht (|a| < 1). Ist a negativ, erscheint der Graph zudem an der x-Achse gespiegelt.
  • y = sin(b·x), b>0, in x-Richtung gestreckt (0 < b < 1) bzw. gestaucht (b > 1). Ihre Periode ergibt sich aus 2π / b.
Beispiel
Der unten abgebildete Graph gehört zu einer Gleichung der Form
y
=
a
·
sin
 
b
·
x
, wobei a>0 und b>0
graphik
Bestimme a und b.
Wie beeinflussen die Parameter c und d die Verschiebung der Sinusfunktion in x- und y-Richtung?
#338
Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
  • y = sin(x + c) in x-Richtung nach rechts (c < 0) bzw. links (c > 0) verschoben.
  • y = sin(x) + d in y-Richtung nach oben (d > 0) bzw. unten (d < 0) verschoben.
Beispiel
Gib die zum Graph passende Funktionsgleichung an:
graphik
y
=
sin
x
−
?
−
?
Wie transformiert man die Standard-Sinuskurve zur Funktion y = a·sin[b·(x + c)], b>0?
#342
Der Graph der Funktion y = a·sin[b·(x + c)] ; b>0 entsteht aus der normalen Sinuskurve durch folgende Schritte:
  • Streckung/Stauchung in x-Richtung; die Periode ergibt sich durch 2π/b, vergößert sich also für b<1 und verkleinert sich für b>1
  • Verschiebung in x-Richtung um |c|; bei negativem Wert nach rechts, ansonsten nach links;
  • Streckung in y-Richtung mit dem Faktor |a|; zusätzlich Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist;
Für den Kosinus gelten die selben Gesetzmäßigkeiten.
Beispiel 1
Welche der angegebenen Funktionsterme passen zum abgebildeten Graphen?
graphik
a
 
−
1,75
·
sin
 
0,6
·
x
−
π
6
b
 
1,75
·
sin
 
0,6
·
x
+
1,5π
c
 
1,5
·
sin
 
0,6
·
x
+
1,5π
    
    
d
 
1,75
·
sin
 
5
3
·
x
+
1,5π
e
 
1,75
·
sin
 
0,6
·
x
+
1,5π
+
1
f
 
1,75
·
sin
 
0,75
·
x
+
1,5π
Beispiel 2
f
 
x
=
cos
 
b
·
x
+
c
Bestimme passende Parameterwerte b und c 
b
 
>
 
0 und
−
π
 
<
 
c
 
<
 
π
, so dass der Funktionsterm zum abgebildeten Graphen passt.
graphik
Wie bestimmt man Amplitude, Periode und Nullstellen der Funktion f(x) = a·sin(b·x) mit b>0?
#494
Die Funktion f(x) = a·sin(b·x); b>0 bzw. deren Graph besitzt:
  • die Amplitude |a|,
  • die Periode 2π / b
  • und damit folgende Nullstellen: außer 0 die halbe Periode und alle (positiven wie negativen) Vielfachen davon.
Für den Kosinus gelten bzgl. Amplitude und Periode dieselben Gesetzmäßigkeiten; das Rezept für die Nullstellen lautet hier: Nimm eine viertel Periode und addiere dazu (bzw. ziehe ab) eine halbe Periode (bzw. Vielfache davon).