1.1.1 Ganzrationale Funktionen, lineare, Matheübungen

Eine lineare Funktion mit der Gleichung y = m·x + t ergibt graphisch immer eine Gerade. Dabei ist m die Steigung (zeigt an, wie stark die Gerade steigt oder fällt) und t der y-Achsenabschnitt (zeigt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet) der Gerade.

• Ist m positiv, so steigt die Gerade (von links nach rechts)
• Ist m negativ, so fällt die Gerade (von links nach rechts)
• Ist m = 0, so verläuft die Gerade parallel zur x-Achse

Um die Gerade mit der Gleichung y=mx+t zu zeichnen, gehe am besten wie folgt vor:

1. Stelle die Steigung m als Bruch dar (falls nicht schon als Bruch gegeben), z.B. m = -1/4 .
2. Gehe vom Schnittpunkt mit der y-Achse, also P(0|t) aus um den Nennerbetrag, hier also um 4, nach rechts.
3. Gehe dann um den Zählerbetrag nach oben (falls m postiv) bzw. unten (falls m negativ). Hier also um 1 nach unten. Damit hast du einen zweiten Punkt und kannst die Gerade zeichnen.

Die Schritte 2 und 3 können auch vertauscht werden. Ebenso ist es egal, ob du Kästchen oder ganze Einheiten abzählst. Wichtig ist nur, dass du nach rechts und nach oben (bzw. unten) die gleichen Schrittlängen abgehst.

Um den Funktionsterm einer abgebildeten Geraden aufzustellen, musst du ihren y-Achsenabschnitt und ihre Steigung ermitteln:

1. Der y-Achsenabschnitt lässt sich direkt aus dem Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse ablesen.
2. Die Steigung erhältst du so: suche zwei Punkte auf der Geraden, deren Koordinaten sich gut ablesen lassen und betrachte das Steigungsdreieck zwischen diesen beiden Punkten. Bilde den Bruch aus der Höhe des Dreiecks im Zähler und der Breite des Dreiecks im Nenner und kürze diesen, falls möglich. Falls die Gerade fällt, schreibe noch ein Minus vor den oben ermittelten Bruch. Damit hast du die Steigung.

Eine Besonderheit bilden waagrechte und senkrechte Geraden.

• senkrechte Gerade werden durch die Gleichung "x = c" beschrieben
• waagrechte Gerade werden durch die Gleichung "y = c" beschrieben.

Beachte, dass die Gleichung der senkrechten Gerade keine Funktionsgleichung ist und somit weder ein y-Achsenabschnitt noch eine Steigung angegeben werden kann. Das ist schon daran erkennbar, dass hier Punkte des Graphen "übereinander" liegen, was bei einer Funktion nicht vorkommen darf.

Jede lineare Gleichung mit einer Unbekannten kann auch zeichnerisch gelöst werden: Die Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen werden dabei als Geraden interpretiert (y = ...). Zeichne die Geraden ein und schaue, ob und - wenn ja - wo sie sich schneiden.

Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen x und y kann als Gerade interpretiert werden. Jeder Punkt (x- und y-Koordinate) der Gerade stellt eine von unendlich vielen Lösungen dar.

Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.

Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt

• über dem Graphen, wenn b > f(a)
• auf dem Graphen, wenn b = f(a)
• unter dem Graphen, wenn b < f(a)

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.

Ist eine Gerade g durch ihre Steigung m und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man den y-Achsenabschnitt t leicht bestimmen:

1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + t (für m setze die bekannte Steigung ein).
2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten t auf.

Ist eine Gerade g durch ihren y-Achsenabschnitt t und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man die Steigung m leicht bestimmen:

1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + t (für t setze den bekannten y-Achsenabschnitt ein).
2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten m auf.

Ist eine Gerade g durch zwei Punkte A(x₁|y₁) und B(x₂|y₂) gegeben, so kann man ihre Steigung m so berechnen:

1. Berechne die Differenz der y-Werte beider Punkte, also Δy = y₂ − y₁.
2. Berechne ebenso die Differenz der x-Werte beider Punkte, also Δx = x₂ − x₁.
3. Der Bruch Δy / Δx ergibt die Steigung m.

Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und t, zu ermitteln:

1. Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
2. Setze dann in die Gleichung y = m·x + t einen der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach t auf.

Folgende Ausnahmefälle hinsichtlich der Lage zweier Geraden sind zu beachten:

• Beide Geraden sind (echt) parallel, haben also keinen Schnittpunkt. Das passiert, wenn beide Geraden dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte haben. In dem Fall lässt sich die Gleichung g(x) = h(x) nicht lösen, es entsteht eine falsche Aussage wie z.B. 1=0.
• Beide Geraden sind identisch, zu erkennen an derselben Steigung und demselben y-Achsenabschnitt. Die Gleichung g(x) = h(x) beschreibt in diesem Fall eine wahre Aussage wie z.B. 0 = 0, hat also unendlich viele Lösungen.
• Eine Geraden ist senkrecht, z.B. x = 5; dann kann die andere Gerade sie, wenn überhaupt, nur bei x = 5 schneiden.
• Eine Geraden ist waagrecht, z.B. y = 5; dann kann die andere Gerade sie, wenn überhaupt, nur in (?|5) schneiden.