1.1 Bestimmtes Integral, Matheübungen

Integralrechnung - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 23 Aufgaben in 6 Levels

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Vergleiche das Flächenstück über der x-Achse mit dem Flächenstück unter der x-Achse.
  • Hilfe zum Thema
    Das bestimmte Integral mit der Integrandenfunktion f und den Integrationsgrenzen a und b kann als FlächenBILANZ gedeutet werden: Man betrachte die Fläche zwischen Gf und der x-Achse im Intervall [a; b]. Teilflächen oberhalb der x-Achse gehen positiv, Teilflächen unterhalb der x-Achse negativ in die Bilanz ein.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 1
  • Entscheide graphisch, ob "<", ">" oder "=" einzusetzen ist.
    • graphik
    0
    −
    4
    f
    x
     
    dx
     
     
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    6
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    dx
     
     
    0
         
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Ober- und Untersumme berechnen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo
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Bestimmtes Integral mithilfe der Flächenbilanz berechnen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo
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Wie wird das bestimmte Integral geometrisch interpretiert?
#566
Das bestimmte Integral mit der Integrandenfunktion f und den Integrationsgrenzen a und b kann als FlächenBILANZ gedeutet werden: Man betrachte die Fläche zwischen Gf und der x-Achse im Intervall [a; b]. Teilflächen oberhalb der x-Achse gehen positiv, Teilflächen unterhalb der x-Achse negativ in die Bilanz ein.
Wie kann man die Fläche zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall abschätzen und welche Fachbegriffe sind dabei relevant?
#568
Die Fläche A zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall [a;b] kann durch Unter- und Obersumme (Un bzw. On) abgeschätzt werden (Streifenmethode).
  • Die Untersumme setzt sich aus n gleichbreiten, auf der x-Achse nebeneinander stehenden Rechtecksflächen (Streifen) zusammen, die möglichst hoch sind, den Graph aber niemals überragen.
  • Die Streifen der Obersumme sind möglichst niedrig, aber nie unterhalb des Graphen.
  • Die Breite der Streifen beträgt in beiden Fällen (b − a)/n.
Damit lässt sich abschätzen:

Un ≤ A ≤ On

Beispiel
Schätze mit Hilfe der Streifenmethode (n=6) ab:
3
0
2
x
 
dx