1.2 Stammfunktionen, Matheübungen

Funktionenscharen, Stammfunktionen und weitere Ableitungsregeln - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

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  • Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang

    F bzw. GF f (x)
    streng monoton steigend > 0 im betrachteten Intervall
    streng monoton fallend < im betrachteten Intervall
    keine Steigung (waagrechte Tangente) = 0

Mit F sei eine Stammfunktion von f (siehe Graph) bezeichnet. Kreuze richtig an (pro Zeile kein oder mehrere Kreuze möglich).

  • graphik
    Im Intervall ]−∞ −2[ nimmt...
    ...f streng mon.    
    ab   
    zu     ...F streng mon.    
    ab   
    zu
    An der Stelle x = -2 nimmt...
    ...f lokal weder zu noch ab          
     
    ...F lokal weder zu noch ab
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Graph einer Stammfunktion skizzieren
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Graph einer Stammfunktion skizzieren

Kanal: Mathegym
Was ist eine Stammfunktion F von f und welche Beziehung besteht zwischen den Werten von f und F?
#401

Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang

F bzw. GF f (x)
streng monoton steigend > 0 im betrachteten Intervall
streng monoton fallend < im betrachteten Intervall
keine Steigung (waagrechte Tangente) = 0
Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?
#570
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C

Beispiel
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
2
3
 
x
7
 an.
Was versteht man unter der "Ableitungskette" in Bezug auf Funktionen und ihre Graphen?
#402
Hinsichtlich f, F (Stammfunktion von f) und f´ gilt also die "Ableitungskette"

F → f → f´

Ihre Graphen stehen in folgendem Zusammenhang:

F bzw. f f bzw. f´
streng monoton steigend verläuft oberhalb der x-Achse
streng monoton fallend verläuft unterhalb der x-Achse
waagrechte Tangente schneidet/berührt die x-Achse