1.3.2.1 Ganzrationale Funktionen, Nullstellenermittlung und Faktorisierung durch Ausklammern und Binome, Matheübungen

- Lehrplan (im Aufbau)

Bestimme die Nullstellen der Funktion durch Ausklammern. Gib die Nullstellen in aufsteigender Reihenfolge an. Trage "!" in übrig bleibende Felder ein.

  • f(x)
    =
    x
    4
    +
    2x
    3
    −
    35x
    2
    Nullstellen:
    x
    1
    =
    x
    2
    =
    x
    3
    =
    x
    4
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
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Was versteht man unter der Vielfachheit einer Nullstelle?
#315
Jede Nullstelle einer ganzrationalen Funktion besitzt eine bestimmte Vielfachheit.

Ist a eine Nullstelle, so kann f(x) als Produkt mit Faktor x − a geschrieben werden. Kommt x − a genau n mal als Faktor vor (also "hoch n"), so nennt man a eine n-fache Nullstelle.

Beispiel
Bestimme jeweils die Nullstellen und ihre Vielfachheiten:
f(x)
=
x
−
1
2
·
x
+
2
g(x)
=
x
2
+
1
·
x
2
−
4
h(x)
=
x
−
5
2
+
2
Wie kann ein quadratischer Term faktorisiert werden?
#319
Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z.B. x + 2) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (Lösungsformel!) ab:
  • Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in q · (x − a) · (x − b).

  • Eine Lösung a: der Term zerfällt in q · (x − a)².

  • Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar.
Beispiel
Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:
a
 
   
 
−
2x
2
+
3x
+
2
b
 
   
 
−
3x
2
+
x
−
5
Was ist der Vorteil eines faktorisierten Funktionsterms?
#485
Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also

f(x) = p(x) · q(x)   [evtl. noch mehr Faktoren],

so erhält man alle Nullstellen von f, indem man die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt - denn ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.
Beispiel
f
 
x
=
x
4
−
3x
3
−
2x
2
·
x
+
1
3
 
. Ermittle alle Nullstellen.