Hilfe
    • Achsensymmetrie zur y-Achse:
    • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
      f(x) = f(-x)

    • Punktsymmetrie zum Ursprung:
    • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
      -f(x) = f(-x)

    • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

    • f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
      Also gilt:
      Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

      -f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
      Also gilt:
      Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

    • Hinweis:
    • Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

  • f
     
    x
    =
    3x
    5
    2
    Der Graph
    ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
    ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
    ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Wie bestimmt man das Verhalten des Graphen einer ganzrationalen Funktion an den Rändern?
#312
Bei einer ganzrationalen Funktion entscheidet die größte x-Potenz mitsamt ihrem Koeffizienten, von wo der Graph kommt und wohin er geht:
  • Exponent ungerade, Koeffizient positiv (z.B. 5x³): von links unten nach rechts oben
  • Exponent ungerade, Koeffizient negativ (z.B. -2x): von links oben nach rechts unten
  • Exponent gerade, Koeffizient positiv (z.B. ½x²): von links oben nach rechts oben
  • Exponent gerade, Koeffizient negativ (z.B. -x²): von links unten nach rechts unten
Wie erkennt man Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen, insbesondere bei ganzrationalen Funktionen?
#758
  • Achsensymmetrie zur y-Achse:
  • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
    f(x) = f(-x)

  • Punktsymmetrie zum Ursprung:
  • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
    -f(x) = f(-x)

  • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

  • f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
    Also gilt:
    Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

    -f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
    Also gilt:
    Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

  • Hinweis:
  • Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
Beispiel
Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
a) 
f
 
x
=
x
2
·
x
+
2
b) 
f
 
x
=
0,4x
3
+
2x
c) 
f
 
x
=
0,1x
0,3
·
0,5
2x