1.4 Optimierungsaufgaben, Matheübungen

- Lehrplan (im Aufbau)

Beantworte mit Hilfe einer geeigneten Funktion.

  • Gegeben seien die Funktionen mit den Termen f(x)
    =
    0,5x
    2
    und g(x)
    =
    −
    x
    2
    +
    18
     
    .
    Ein Rechteck habe die Eckpunkte B(-x|f(-x)), C(x|f(x)), D(-x|g(-x)) und E(x|g(x)), wobei 0 < x < 3.
    graphik
    Bei welchen Punkten ergibt sich der größtmögliche Flächeninhalt des Rechtecks und wie groß ist dieser?
    B
     
     
    |
     
     
    ,
     
    C
     
     
    |
     
    D
     
     
    |
     
     
    ,
     
    E
     
     
    |
     
    A
    max
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
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Wie löst man Optimierungsaufgaben in der Mathematik?
#615
Wenn es um die Optimierung einer bestimmten Größe geht, gehe wie folgt vor:
  1. Beschreibe die Größe, die möglichst groß oder möglichst klein werden soll (z.B. der Flächeninhalt einer Figur, das Volumen eines Körpers oder der Umsatz einer Ware) durch einen Term T, in dem die flexible Größe x (z.B. eine Seite der Figur oder des Körpers, der Preis der Ware) vorkommt.
  2. Falls weitere Variablen im Term vorkommen: Überlege dir, in welchem Zusammenhang sie zu x stehen. Stelle sie in Abhängigkeit von x dar und ersetze sie im obigen Term, so dass T nur noch von x abhängt. Überlege dir auch den Definitionsbereich von T(x).
  3. Bestimme jetzt mit den Werkzeugen der Infinitesimalrechnung (Ableitung etc.) die Stellen, an denen relative Extremata auftreten und beantworte damit die in der Aufgabe gestellten Fragen.
Beispiel
graphik
Der Halbkreis hat den Radius r. Bestimme die Seiten des einbeschriebenen Rechtecks (in Abhängigkeit von r) so, dass die Rechtecksfläche möglichst groß ist und gib den maximalen Flächeninhalt an.