1.5 Beziehung zwischen Graphen von Funktion, Ableitung und Stammfunktion, Matheübungen

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  • Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang

    F bzw. GF f (x)
    streng monoton steigend > 0 im betrachteten Intervall
    streng monoton fallend < im betrachteten Intervall
    keine Steigung (waagrechte Tangente) = 0

Welcher der vier roten Graphen gehört zu einer Stammfunktion F von f?

  • graphik
     
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Was ist eine Stammfunktion F von f und welche Beziehung besteht zwischen den Werten von f und F?
#401

Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang

F bzw. GF f (x)
streng monoton steigend > 0 im betrachteten Intervall
streng monoton fallend < im betrachteten Intervall
keine Steigung (waagrechte Tangente) = 0
Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?
#570
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C

Beispiel
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
2
3
 
x
7
 an.