12.1 Lineare Gleichungssysteme. Elementar, Matheübungen

Lineare Gleichungssysteme graphisch und mit Hilfe von Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren lösen; Sonderfälle und ihre graphische Interpretation; Mischprobleme als Anwendungsaufgaben - Lehrplan - 29 Aufgaben in 7 Levels

Hilfe
  • Hilfe speziell zu diesem Zwischenschritt
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 20
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Mischaufgaben können oft mit Hilfe zweier Gleichungen gelöst werden, bei der sich eine auf die Gesamtmengen bezieht.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 7
  • Löse mit Hilfe eines geeigneten Gleichungssystems.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • Mischt man 12 kg einer Kaffeesorte A mit 8 kg einer anderen Sorte B, so kostet 1 kg der Mischung 26,40€. Nimmt man dagegen von jeder Sorte 10 kg, so kostet 1 kg der Mischung 27€. Berechne die Kilopreise beider Sorten.
    Sorte A:
     
     ▉ 
    €/kg
    Sorte B:
     
     ▉ 
    €/kg
    Schritt 1 von 5
    Mit a und b seien die gesuchten Kilopreise gemeint. Überlege, auf welche zwei Weisen der Gesamtpreis der ersten Mischung berechnet werden kann und ergänze dann die Gleichung:
    I:   
     
    a
    +
    b
    =
    ·
    26,40
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
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Lösung
Achtung
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Stoff zum Thema (+Video)
Was ist ein Gleichungssystem und welche Aussagen lassen sich über die Lösungsmenge treffen?
#366
Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen. Grundsätzlich sind drei Fälle denkbar:
  • eine eindeutige Lösung
  • unendlich viele Lösungen
  • keine Lösung
Beispiel
Betrachte die folgenden drei Gleichungssysteme und bestimme jeweils, falls möglich, die Lösung(en).
-----------------------
x
=
1
y
=
x
−
2
-----------------------
x
+
y
=
2
2x
+
2y
=
4
-----------------------
x
+
y
=
2
x
+
y
=
1
-----------------------
Welche Verfahren gibt es zum Lösen von Gleichungssystemen und was ist ihr Ziel?
#365
Gleichungssysteme lassen sich z.B. mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens oder des Additionsverfahrens lösen. Beide Verfahren laufen darauf hinaus, Gleichungen mit jeweils nur einer Unbekannten zu erhalten, nach der man dann auflösen kann.
Beispiel 1

Löse mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens:

I: 2x + 3y = 5
II: 3y − x = 0,5
Beispiel 2
Löse mit Hilfe des Additionsverfahrens:
2x
+
3y
=
5
2y
−
3
=
x
Wie kann ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten graphisch interpretiert werden?
#367
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kann graphisch übersetzt werden:

Jede Gleichung (=Zeile) entspricht einer Geraden. Die Lösung des Gleichungssystems entspricht dann dem Schnittpunkt beider Geraden. Beachte die Sonderfälle:

  • keine Lösung bedeutet, dass die Geraden echt parallel sind
  • unendlich viele Lösungen bedeutet, dass die Geraden identisch sind
Wie löst man Mischaufgaben mit Hilfe von Gleichungen?
#416
Mischaufgaben können oft mit Hilfe zweier Gleichungen gelöst werden, bei der sich eine auf die Gesamtmengen bezieht.
Beispiel
Hochprozentige Essigsäure (Essigessenz) kann im Haushalt mit Wasser verdünnt werden um Speiseessig herzustellen. Wieviel 15%ige Essigessenz und wieviel Wasser sind zu vermischen, um 1 Liter Speiseessig mit einem Säureanteil von 6% herzustellen?