13.4 AnaGeo. Ebenen.Normalenform (KK), Matheübungen

Koordinatengleichung von Ebenen. Ebene durch drei Punkte, Punkt auf Ebene, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage Ebene - Gerade, gegenseitige Lage Ebene - Ebene - Lehrplan - 12 Aufgaben in 3 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Die beiden Richtungsvektoren müssen senkrecht zum Normalenvektor stehen.
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema

    Gegeben ist eine Koordinatengleichung einer Ebene:

    \[ a x_1 + b x_2 + c x_3 + d = 0 \]

    Vorgehen zum Umformen in die Parametergleichung

    1. Aufpunkt bestimmen:
      Gesucht ist ein beliebiger Punkt \( P \) der Ebene.

      Tipp: Man kann zwei Koordinaten (z.B. \( x_1 \) und \( x_2 \)) gleich 0 setzen und die dritte mithilfe der Gleichung bestimmen.


    2. Normalenvektor ablesen: \[ \vec{n}=\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix} \]

    3. Richtungsvektoren bestimmen:
      Gesucht sind zwei linear unabhängige Vektoren \( \vec{v} \) mit \[ \vec{n}\circ\vec{v}=0 \] also Lösungen der Gleichung \[ a \cdot v_1 + b \cdot v_2 + c \cdot v_3 = 0 \]

      Tipp: Man kann eine Koordinate (z.B. \( v_3 \)) gleich 0 setzen und die beiden anderen mithilfe der Gleichung bestimmen. Für den zweiten Richtungsvektor wählt man eine andere Koordinate als 0.


    4. Parametergleichung aufstellen: \[ E: \vec{x}=\overrightarrow{OP}+r\cdot \vec{v_1}+s\cdot \vec{v_2} \]
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 3
  • Wandle die Koordinatengleichung der Ebene in eine Parametergleichung um.
  • Zwischenschritte aktiviert

    • Koordinatengleichung:

    \(E: -2x_1+3x_2+12x_3-20=0\)


    Parametergleichung:

    \(E: \;\vec{x}\)
    =
     ▉ 
    4
    −
    1
    +
    s
    ·
    0
    12
     ▉ 
    +
    t
    ·
    3
     ▉ 
    0

    Schritt 1 von 3

    Gib den Aufpunkt der Ebene an:

    \(\vec{OA}\)
    =
    4
    −
    1

Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Lösung
Achtung
Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema
Welche Komponenten sind für die Normalengleichung einer Ebene notwendig?
#687
Die allgemeine Normalengleichung der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor und einem Aufpunkt P.
Beispiel
Die Ebene E besitzt den Normalenvektor
 
n
=
−
1
−
1
4
 
und enthält den Punkt P(0|2|0).
Wie überprüft man, ob ein Punkt P in einer Ebene E in Koordinatenform liegt?
#608
Um zu überprüfen, ob der Punkt P(p1 | p2 | p3) in der Ebene E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 enthalten ist, setze P in E ein, d.h. überprüfe die Aussage n1 p1 + n2 p2 + n3 p3 + n0 = 0 auf Richtigkeit.
Wie wandelt man die Koordinatengleichung einer Ebene in eine Parametergleichung um?
#1455

Gegeben ist eine Koordinatengleichung einer Ebene:

\[ a x_1 + b x_2 + c x_3 + d = 0 \]

Vorgehen zum Umformen in die Parametergleichung

  1. Aufpunkt bestimmen:
    Gesucht ist ein beliebiger Punkt \( P \) der Ebene.

    Tipp: Man kann zwei Koordinaten (z.B. \( x_1 \) und \( x_2 \)) gleich 0 setzen und die dritte mithilfe der Gleichung bestimmen.


  2. Normalenvektor ablesen: \[ \vec{n}=\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix} \]

  3. Richtungsvektoren bestimmen:
    Gesucht sind zwei linear unabhängige Vektoren \( \vec{v} \) mit \[ \vec{n}\circ\vec{v}=0 \] also Lösungen der Gleichung \[ a \cdot v_1 + b \cdot v_2 + c \cdot v_3 = 0 \]

    Tipp: Man kann eine Koordinate (z.B. \( v_3 \)) gleich 0 setzen und die beiden anderen mithilfe der Gleichung bestimmen. Für den zweiten Richtungsvektor wählt man eine andere Koordinate als 0.


  4. Parametergleichung aufstellen: \[ E: \vec{x}=\overrightarrow{OP}+r\cdot \vec{v_1}+s\cdot \vec{v_2} \]
Beispiel
Gib eine Parametergleichung zu der folgenden Koordinatengleichung einer Ebene an:

\(E: 5x_1-1x_2+17x_3-2=0\)