13.6 Koordinatengeometrie im Raum - Abstandsbestimmungen, Matheübungen

Abstand zwischen zwei Punkten, zwischen Punkt und Gerade, zwischen Punkt und Ebene, zwischen zwei windschiefen Geraden - Lehrplan - 27 Aufgaben in 6 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level

    Vergleiche den Abstand der Mittelpunkte mit den Radien.

  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema

    Zwei Kugeln können sich mit einem Schnittkreis schneiden, sich in einem Punkt berühren oder sich garnicht schneiden.

    Die Lage untersucht man, indem man den Abstand der beiden Mittelpunkte \(|\overrightarrow{M_1M_2}|\) mit der Summe, beziehungsweise der Differenz, der beiden Radien vergleicht:

    • \( |\overrightarrow{M_1M_2}| < |r_1-r_2| \) oder \(|\overrightarrow{M_1M_2}| > r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln besitzen keine gemeinsamen Punkte.
    • \( |\overrightarrow{M_1M_2}| = |r_1-r_2| \) oder \(|\overrightarrow{M_1M_2}| = r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln berühren sich.
    • \( |r_1-r_2| < |\overrightarrow{M_1M_2}| < r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln schneiden sich.

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 6
  • Wie liegen die beiden Kugeln zueinander? Bestimme.
  • Zwischenschritte aktiviert

    • Gegeben sind zwei Kugeln mit den Mittelpunkten \(M_1(-1|8|2)\) und \(M_2(2|3|-1) \text{,}\) sowie den Radien \(r_1=2\) und \(r_2=3 \text{.}\)

     ▉  Die Kugeln besitzen keine gemeinsamen Punkte, eine liegt in der anderen.

     ▉  Die Kugeln besitzen keine gemeinsamen Punkte, keine liegt in der anderen.

     ▉  Die Kugeln berühren sich in einem Punkt, eine liegt in der anderen.

     ▉  Die Kugeln berühren sich in einem Punkt, keine liegt in der anderen.

     ▉  Die Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis.

    Schritt 1 von 3

    Bestimme den Abstand der beiden Mittelpunkte. Runde auf eine Dezimale.

    Abstand:

Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
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Notizfeld
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Lösung
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie wird der Abstand zweier Punkte mittels eines Vektors bestimmt?
#599
Der Abstand zweier Punkte A und B (= Entfernung) ist gleich der Länge ihres Verbindungsvektors.
Beispiel
Welchen Abstand haben die Punkte A(1|-3|-7) und B(-2|3|-6) von einander?
Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene in Koordinatenform?
#600
Um den Abstand eines Punktes P(p1 | p2 | p3) von einer Ebene E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 zu ermitteln, gehe wie folgt vor:
  1. Setze P in E ein, d.h. bestimme den Term n1 p1 + n2 p2 + n3 p3 + n0.
  2. Teile den Betrag vom Ergebnis oben durch die Länge des Normalenvektors mit den Koordinaten n1, n2 und n3.
Beispiel
Welchen Abstand hat der Punkt P(1|-2|6) von der Ebene E
:
2x
1
+
x
2
−
4x
3
−
9
=
0
 
?
Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Erläutere zwei Methoden.
#601
Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g zu bestimmen:

Mittels Hilfsebene:

  1. Führe eine Hilfsebene E ein, die P enthält und senkrecht zu g verläuft (also den Richtungsvektor von g als Normalenvektor besitzt).
  2. Ermittle den Schnittpunkt S von E und g.
  3. Berechne die Entfernung zwischen P und S.

Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":

  1. Bilde den Vektor, der P mit einem Punkt Qλ der Geraden g verbindet.
  2. Bestimme λ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g steht (also das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von g den Wert 0 ergibt).
  3. Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.
Beispiel
Welchen Abstand hat der Punkt P(5|-3|2) von der Geraden g: 
X
=
−
2
0
4
+
λ
 
1
2
−
2
?
Wie kann man den Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden g und h berechnen?
#602
Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand zweier windschiefer Geraden g und h zu bestimmen:

Mittels Hilfsebene:

  1. Führe eine Hilfsebene E ein, die g enthält und parallel ist zu h (für die Gleichung von E in Parameterform kann man den Aufpunkt von g und die Richtungsvektoren beider Geraden verwenden).
  2. Wandle E in Normalenform um.
  3. Bestimme den Abstand zwischen dem Aufpunkt von h und der Hilfsebene E.
Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":
  1. Bilde den Vektor, der einen Punkt Pλ der Geraden g mit einem Punkt Qμ der Geraden h verbindet.
  2. Bestimme λ und μ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g und h steht (also das Skalarprodukt mit den Richtungsvektoren von g und h jeweils den Wert 0 ergibt).
  3. Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.
Beispiel
Bestimme den Abstand der beiden Geraden g und h:
g: 
x
=
−
3
−
1
6
+
λ
·
1
−
1
0
h: 
x
=
0
0
5
+
λ
·
2
3
−
4
Beispiel
Gegeben sind die Punkte A(1|2|3), B(-1|3|5), C(0|3|-3) sowie die Punkteschar Mb(1-b|1+b|8). Mb ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die durch A, B und C festgelegte Ebene E berührt. Bestimme b so, dass für die Oberfläche der Kugel gilt O = 12/87· π.
Wie können zwei Kugeln zueinander liegen und wie wird dies bestimmt?
#1466

Zwei Kugeln können sich mit einem Schnittkreis schneiden, sich in einem Punkt berühren oder sich garnicht schneiden.

Die Lage untersucht man, indem man den Abstand der beiden Mittelpunkte \(|\overrightarrow{M_1M_2}|\) mit der Summe, beziehungsweise der Differenz, der beiden Radien vergleicht:

  • \( |\overrightarrow{M_1M_2}| < |r_1-r_2| \) oder \(|\overrightarrow{M_1M_2}| > r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln besitzen keine gemeinsamen Punkte.
  • \( |\overrightarrow{M_1M_2}| = |r_1-r_2| \) oder \(|\overrightarrow{M_1M_2}| = r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln berühren sich.
  • \( |r_1-r_2| < |\overrightarrow{M_1M_2}| < r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln schneiden sich.

Beispiel

Ermittle die Lage der beiden Kugeln:

\(K_1: (x_1 - 3)^2 + (x_2 + 1)^2 + (x_3 - 6)^2 = 4\)
\(K_2: (x_1 - 1)^2 + x_2^2 + (x_3 - 4)^2 = 1\)