14.7.1 Stochastik - Bernoulli-Ketten, Binomialverteilung - Matheübungen und Online-Aufgaben

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 18

Das Diagramm beschreibt die die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße X. Bestimme p. Ergebnis(se) mit 2 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
Zwischenschritte aktiviert

(n = 5)

≈

▉

Schritt 1 von 3

Lies so genau wie möglich (bis auf die dritte Kommastelle) ab:

≈

keine Berechtigung

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Was ist ein Bernoulli-Experiment und eine Bernoulli-Kette und wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades?

#702

Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten:

Bernoulli-Experiment:
Zufallsversuch, bei dem genau zwei mögliche Ergebnisse interessieren, z.B.

"Erfolg -- Nichterfolg"
"Treffer -- Niete"
"0 -- 1".
Ist die Treffer-Wahrscheinlichkeit p, so ist die Nicht-Treffer-Wahrscheinlichkeit q = 1− p (Gegenereignis).

Bernoulli-Kette der Länge n:

Ein Bernoulli-Experiment wird n mal wiederholt, wobei die Durchführungen jeweils unabhängig voneinander sind.
Ein Pfad mit r Treffern hat die Wahrscheinlichkeit p^r · q^n-r, wobei p die Trefferwahrscheinlichkeit und q = 1 − p die Nicht-Trefferwahrscheinlichkeit ist.
In einer Bernoulli-Kette der Länge n gibt der Binomialkoeffizient "n über r" die Anzahl der Pfade mit genau r Treffern an.

Beispiel

Handelt es sich um eine Bernoullikette? Wenn ja, gib die Trefferwahrscheinlichkeit und Länge der Bernoullikette an.

a) Ein Würfel wird vier Mal geworfen und die Augenzahl betrachtet.
b) Ein Würfel wird vier Mal geworfen und die Anzahl der geraden Zahlen notiert.

Was ist der Binomialkoeffizient und wie berechnet man ihn?

#701

Binomialkoeffizienten

Der Binomialkoeffizient gibt in Bernoulli-Ketten die Anzahl der Pfade an, bei n Durchführungen genau r Treffer zu erhalten.
Dies wird bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten benötigt.

Schreibweise:

wie ein Vektor (n über r in runden Klammern)
Gelesen: "n über r"

Berechnung: mithilfe der nCr-Taste deines Taschenrechners, also zuerst n eingeben, dann nCr-Taste drücken, dann r eingeben. Ohne Taschenrechner:

Zähler: n · (n-1) · (n-2) · ... (n-r+1) [insgesamt r Faktoren]
Nenner: 1 · 2 · 3 · ... · r [ebenfalls r Faktoren]
Kürzen (bis der Nenner 1 ist!), dann verbliebenen Zähler berechnen.

Beispiel

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit P(X=r) in einer Bernoulli-Kette der Länge n?

#703

Bernoulli Formel:

Für eine Bernoulli-Kette der Länge n lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(X=r), dass die Zufallsgröße X genau r Treffer (Trefferwahrscheinlichkeit p) hat mit der Bernoulli-Formel berechnen:

B_n,p = P(X=r) = (ⁿ_r) · p^r · (1 − p)^n-r

Beispiel 1

Ein Würfel wird 5 Mal geworfen.

Wahrscheinlichkeit für genau vier Einser:

Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Quadratzahlen:

Beispiel 2

Wie oft muss ein Würfel mindestens geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens eine 1 zu würfeln?

Wie unterscheidet man bei binomialverteilten Zufallsgrößen und welche Experimente folgen keiner Binomialverteilung?

#1151

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\)) ist zwischen nicht kumuliert (\(P(X=k)\)) und kumuliert (\(P(X\le k)\)) zu unterscheiden.

Berechnung mit dem GTR

Gegeben: Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer:

\[ B_{n,p}(k)=P(X=k)=\operatorname{binompdf}(n,p,k) \]

Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer:

\[ F_{n,p}(k)=P(X\le k)=\operatorname{binomcdf}(n,p,k) \]

Hinweis: Bei vielen Experimenten (z. B. Ziehen mehrerer Kugeln auf einmal oder hintereinander ohne Zurücklegen) liegt keine Bernoulli-Kette vor; dann gelten andere Modelle/Formeln (z. B. hypergeometrische Verteilung).

Beispiel 1

Ein Basketballer wirft 30 Freiwürfe. Erfahrungsgemäß trifft er jeden Freiwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 85%. Gib einen Term an, mit dem man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet/berechne die Wahrscheinlichkeit dafür,
a) dass er genau 20 Freiwürfe trifft.
b) dass er höchstens 25 Freiwürfe trifft.
c) dass er mindestens 15 Freiwürfe trifft.
d) dass er zwischen 10 und 20 Freiwürfe trifft.

Beispiel 2

Aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen 4 weiß sind, werden 5 durch Zufall gezogen. Gib jeweils einen Term an für die Wahrscheinlichkeit…

a) dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.

b) höchstens dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.

c) dreimal Weiß, wenn hintereinander ohne Zurücklegen gezogen wird.

d) dreimal Weiß, wenn alle 5 Kugeln auf einmal gezogen werden.

Wann ist eine Zufallsgröße X binomialverteilt?

#1222

Eine Zufallsgröße X heißt binomialverteilt nach B(n;p), wenn X die Werte 0, 1, 2, ..., n (n natürliche Zahl) annimmt und wenn P(X=k)=(n_k)·p^k·(1−p)^n−k gilt.

Zählt X die Anzahl der Treffer bei einem Bernoulli-Experiment, so ist X binomialverteilt.

Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten der Form P(Z≤k) und P(Z>k)?

#509

Wahrscheinlichkeiten der Art P( X ≤ k ) einer binomial verteilten Zufallsgröße X können mit unterschiedlichen Hilfsmitteln (WTR, CAS/MMS, GTR, Tafelwerk) bestimmt werden. Man beachte, welche Hilfsmittel für die Prüfung zugelassen sind!

Um P( Z > k ) zu bestimmen, ermittelt man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" und zieht diesen dann von 1 ab.

Beispiel 1

150; p

0,3

X ≥ 50

≈ ▇

Beispiel 2

Eine Urne enthält eine weiße und 7 schwarze Kugeln. Wie oft musst du mindestens eine Kugel (mit Zurücklegen) ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 2-mal "weiß" zu ziehen?

Antwort: mindestens ?-mal

Beispiel 3

Die Verarbeitung von Bauteilen wird als "sehr gut" bezeichnet, wenn man in einer Stichprobe von 100 Stück mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 96% maximal 3 defekte Bauteile findet. Wie hoch darf der Anteil an defekten Bauteilen maximal sein?

Antwort:

? % (gerundet auf eine Dezimale)

Welche Formeln gelten für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Trefferzahl X in einer Bernoulli-Kette?

#710

In einer Bernoulli-Kette der Länge n und Treffer-Wahrscheinlichkeit p bezeichne die Zufallsgröße X die Trefferzahl. Dann gilt:

Erwartungswert μ(X) =n·p
Standardabweichung σ(X) = √ n·p·(1-p)

Beispiel

Eine Münze wird 200-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Wappen".

Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert innerhalb der 2σ-Umgebung annimmt:

−

2σ

≤

2σ

≈

Was sind die Sigmaregeln und unter welcher Bedingung sind sie zuverlässig?

#706

Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:

ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].

Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:

90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].

Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.

Beispiel

Eine Münze wird 50-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Zahlen".

Gib ein Intervall an, in dem sicher 90% der Werte von X liegen.

14.7.1 Stochastik - Bernoulli-Ketten, Binomialverteilung, Matheübungen

Bernoulli-Experimente erkennen, Bernoulliketten berechnen. Anwendungen zur Binomialverteilung und kumulativen Binomialverteilung; Sigma-Umgebungen - Lehrplan - 94 Aufgaben in 20 Levels

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