2.1 Definitionslücken, Nullstellen und Polstellen, Matheübungen

Gebrochen-rationale Funktionen - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 45 Aufgaben in 8 Levels

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    Bei gebrochen-rationalen Funktionen sind die x-Werte auszuschließen ("Definitionslücken"), die zum Wert 0 im Nenner führen.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Welche Werte dürfen für x nicht eingesetzt werden (Mehrfachauswahl möglich)?
    • f
     
    x
    =
    3
    −
    x
    5
    −
    2x
    x
    =
    3
    x
    =
    2
    5
    x
    =
    2,5
    x
    =
    5
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Stoff zum Thema
Was muss bei der Definitionsmenge gebrochen-rationaler Funktionen beachtet werden?
#271
Bei gebrochen-rationalen Funktionen sind die x-Werte auszuschließen ("Definitionslücken"), die zum Wert 0 im Nenner führen.
Wie bestimmt man die Definitionsmenge und Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen?
#1091
Beachte bei gebrochen-rationalen Funktionen: Die Nullstellen des Nenners sind die Definitionslücken. Die Nullstellen des Zählers sind, sofern definiert, die Nullstellen der Funktion.
Wie kann man eine gebrochen-rationale Funktion der Form a(x)+b(x)/c(x) in die Form p(x)/q(x) umwandeln?
#1092
Der Term einer gebrochen-rationale Funktion kann auch in der Form a(x)+b(x)/c(x) gegeben sein, wobei a(x), b(x) und c(x) Polynome sind. Durch Erweiterung mit dem Nennerpolynom c(x) kann der Term in die Form d(x)/c(x) gebracht werden.
Beispiel
f
 
x
=
0,5x
−
3
+
5
3x
−
4
Wandle in die Form 
p
 
x
q
 
x
 um und vereinfache.
Was sind Polstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen und wie verhält sich der Graph in ihrer Umgebung?
#323
Polstellen sind spezielle Definitionslücken. In der Umgebung einer Polstelle
  • wächst der Funktionswert betragsmäßig ins Unendliche
  • schmiegt sich der Graph folglich an eine senkrechte Asymptote an
Je nachdem, ob der Funktionswert sich links/rechts von der Polstelle gegen +∞ oder −∞ entwickelt, handelt es sich um eine Polstelle
  • mit Vorzeichenwechsel (+/− oder −/+) oder
  • ohne Vorzeichenwechsel(+/+ oder −/−).
Beispiel
Lies aus dem Graphen evtl. auftretende Null- und Polstellen ab und charakterisiere diese näher.
graphik
Was bedeutet der Limes von f(x) für x → c− bzw. x → c+?
#544

Sei c eine beliebige reelle Zahl. Der Limes von f(x) für x → c− bzw. x → c+ gibt an, wie sich die Funktion in unmittelbarer Umgebung links bzw. rechts von x = c verhält.

Beispiel
Wie verhält sich f in der Umgebung der Definitionslücken?
graphik
Was passiert mit einem Bruch, wenn der Zähler konstant ≠ 0 ist und der Nenner gegen 0 strebt?
#549
Strebt bei einem Bruch der Zähler gegen eine konstante Zahl ≠ 0 und der Nenner gegen 0- bzw. 0+, so strebt der Bruch, je nach Vorzeichen des Zählers, gegen -∞ oder +∞.
Beispiel
Bestimme, wenn möglich:
l i m
x → 5-   
 
1
−
x
x
−
5
 
          
 
l i m
x → 5   
 
1
−
x
x
−
5
Wie bestimmt man das Verhalten einer gebrochen-rationalen Funktion für x gegen Unendlich?
#550
Der Limes einer gebrochen-rationalen Funktion für x → ∞ oder x → -∞ kann durch Ausklammern der höchsten Nennerpotenz bestimmt werden.

Noch einfacher geht es mit folgender Regel ("z" steht für Zählergrad, "n" für Nennergrad, mit " lZ" und " lN" sind die jeweiligen Leitkoeffizienten gemeint):

  • = 0, falls z < n (x- Achse als Asymptote)
  • = lZ : lN, falls z = n (waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse)
  • = ∞ bzw. -∞, falls z > n; ob "+" oder "-" findet man heraus, indem man Zähler und Nennergrad sowie die Leitkoeffizienten betrachtet
Beispiel
l i m
x → -∞   
 
x
3
−
2
x
2
+
3x
=
?
Wie lassen sich Bruchterme vereinfachen und welche Techniken sind dabei hilfreich?
#749
Bruchterme lassen sich evtl. durch Kürzen vereinfachen. Voraussetzung dafür ist, dass Zähler und Nenner in Produktform, also faktorisiert, vorliegen. Oft muss man diese Faktorisierung erst einmal vornehmen, bevor man kürzt. Folgende Techniken helfen dabei am häufigsten weiter:
  • Ausklammern von x bzw. einer Potenz von x, z.B. bei x³−4x²+x
  • Binomische Formeln
  • Lösungsformel für qudratische Gleichung oder auch Satz von Vieta