2.2 Ableitung - momentane Änderungsrate, Matheübungen

Schlüsselkonzept: Ableitung - Differenzialrechnung - Lehrwerk Lambacher Schweizer

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  • Rechnerisch ergibt sich die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a, indem man den den Grenzwert des Differenzenquotienten

    [ f(x) − f(a) ] / (x − a)

    für x → a (x ≠ a) bestimmt. Diesen Grenzwert (sofern er existiert) nennt man Differentialquotient.
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Berechne die lokale Änderungsrate an der Stelle x0 mit Hilfe des Differentialquotienten.

  • f(x)
    =
    2
    3
    −
    x
    ;
    x
    0
    =
    1
    Änderungsrate
    =
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Wie lassen sich die mittlere und lokale Änderungsrate graphisch interpretieren?
#397
Graphisch lässt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b] als Steigung der Geraden (Sekante) durch die entsprechenden Punkte des Graphen veranschaulichen.

Die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a ist folglich die Steigung der Geraden (Tangente), die den Graph im entsprechenden Punkt berührt. Man stelle sich zum besseren Verständnis ein winziges Intervall [a; b] und die zugehörige Sekante vor. Lässt man das Intervall weiter schrumpfen, also b gegen a gehen, wird aus der Sekante eine Tangente.

Beispiel
Schätze die mittlere Änderungsrate im angegebenen Intervall bzw. die lokale Änderungsrate an der gegebenen Stelle ab.
graphik
Intervall [-1; 5]:       
 
m
 
≈ ?
Stelle x
0
=
4:       
 
m ≈ ?
Wie bestimmt man die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x_0 mit Differenzenquotienten?
#844

Man kann auch die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x0 mit Hilfe geeigneter Differenzenquotienten bestimmen. Man berechnet dazu

[ f(x) − f(x0) ] / (x − x0)

für x-Werte, die sich von links und von rechts an x0 annähern. Erläuterung: die zugehörigen Sekanten gleichen dadurch immer mehr der Tangente an der Stelle x=x0.

Wie ist der Zusammenhang zwischen dem Differenzenquotienten und der lokalen Änderungsrate?
#640
Rechnerisch ergibt sich die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a, indem man den Grenzwert des Differenzenquotienten

[ f(a+h) − f(a) ] / h

für h → 0 (h ≠ 0) bestimmt. Diesen Grenzwert (sofern er existiert) nennt man Differentialquotient.
Beispiel
Berechne die lokale Änderungsrate an der Stelle a.
f(x)
=
2
x
−
x
;
a
=
−
2
Was ist der Differentialquotient und wie wird er berechnet?
#398
Rechnerisch ergibt sich die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a, indem man den den Grenzwert des Differenzenquotienten

[ f(x) − f(a) ] / (x − a)

für x → a (x ≠ a) bestimmt. Diesen Grenzwert (sofern er existiert) nennt man Differentialquotient.
Beispiel
Berechne die lokale Änderungsrate an der Stelle x0.
f(x)
=
2
x
−
x
;
x
0
=
−
2