2.2 Die Normalform quadratischer Funktionen - die Lösungsformel quadratischer Gleichungen, Matheübungen

Quadratische Funktionen und Gleichungen - Lehrwerk Fokus Mathematik (5.-8. Klasse) - 48 Aufgaben in 9 Levels

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    • a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
    • b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
    • c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 8 in Level 1
  • Bringe die Gleichung nur durch Addition/Subtraktion in die Form ax² + bx + c = 0. Ordne dann richtig zu.
    • 1
    2
     
    x
    2
    =
    3x
    −
    5
    a
    =
    b
    =
    c
    =
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie identifiziert man die Koeffizienten a, b und c in einer quadratischen Gleichung?
#241
Merke:
  • a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
  • b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
  • c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.
Wie leitet man die allgemeine Form einer Parabelgleichung aus der Scheitelpunktform ab?
#911
Von der Scheitelpunktform
y = a⋅(x − xS)2 + yS
kommt man durch ausquadrieren bzw. dem Anwenden der binomischen Formeln zur allgemeinen Form:
y = a⋅x² + bx + c
Beispiel
Bringe in die allgemeine Form und gib dann die Parameter a, b und c an:
y
=
−
5
·
x
+
2
2
−
1
Was ist die Mitternachtsformel und wie bestimmt man die Anzahl der Lösungen?
#243

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 = (−b ± √D) : 2a

Beispiel 1
Löse die Gleichung 
2x
2
−
5x
−
7
=
0
.
Beispiel 2
Löse die Gleichung:
1
3
 
x
−
x
2
+
7
=
5
+
x
Welche Formen einer Parabelgleichung gibt es und wie wandelt man diese um?
#236
Man unterscheidet bei einer Parabel zwischen
  • Allgemeiner Form   y = ax² + bx + c   ⇒ Ablesen des Schnittpunkts mit der y-Achse (0;c)
  • Scheitelpunktform   y = a (x - xS)² + yS   ⇒ Ablesen des Scheitels S

Von der allgemeinen Form ausgehend erhält man die Scheitelpunktform mithilfe der quadratischen Ergänzung.

Beispiel
Bringe 
y
=
1
4
 
x
2
−
2x
+
1
 in Scheitelpunktform und gib den Scheitel an.