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2.2 Terme zu Wachstums und Zerfallsfunktionen, Matheübungen
- Lehrplan (im Aufbau)
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Beispielaufgabe
Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.
B(n) gesucht:
Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
B(n) = B(0) · k
n
n gesucht:
Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
| log
log( B(n) / B(0) ) = log( k
n
)
log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )
B(0) gesucht:
Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : k
n
B(0) = B(n) / k
n
k gesucht:
Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Vervollständige die Tabelle. Falls du mit Teilergebnissen weiterrechnest, so verwende die genauen Werte (Taschenrechnergenauigkeit) und NICHT die von dir gerundeten! Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!
Ein Bestand mit dem Anfangswert B(0) = 250 nimmt täglich um 3% zu.
n
0
1
2
3
10
B(n)
250
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
!
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Checkos: 0 max.
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Stoff zum Thema (+Video)
Was bleibt beim exponentiellen Wachstum gleich und wie geht man bei typischen Fragestellungen vor?
#724
Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.
B(n) gesucht:
Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
B(n) = B(0) · k
n
n gesucht:
Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
| log
log( B(n) / B(0) ) = log( k
n
)
log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )
B(0) gesucht:
Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : k
n
B(0) = B(n) / k
n
k gesucht:
Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
Euro
?
Cent
Wie hängen Wachstumsrate und Wachstumsfaktor beim exponentiellen Wachstum zusammen?
#345
Wachstumsrate = Wachstumsfaktor a − 1
Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt
um
20% (= Rate) zu, so hat er sich
auf
120% (= a) des ursprünglichen Bestands vergößert.
Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt
um
20% (Rate) ab, so hat er sich
auf
80% (= a) des ursprünglichen Bestands verringert.
Ansonsten bedenke, dass 80% = 0,8 und 120% = 1,2.
Beispiel
Wie lautet der Wachstumsfaktor (bezogen auf das angegebene Zeitintervall)
bei einer monatlichen Zunahme um die Hälfte
bei einer jährlichen Abnahme um ein Viertel
bei einem täglichen Rückgang um 1,5%
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