2.3 Die Nullstellenform quadratischer Funktionen - Nullstellen direkt ablesen, Matheübungen

Quadratische Funktionen und Gleichungen - Lehrwerk Fokus Mathematik (5.-8. Klasse) - 23 Aufgaben in 5 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Entnimm dem Text Informationen über die Nullstellen oder den Scheitelpunkt und bestimmte fehlende Parameter durch Einsetzen eines Punkts, der auf der Parabel liegt.
  • Hilfe zum Thema
    Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
    • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
    • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
    • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 5
  • Bestimme möglichst geschickt einen Term für die Parabel und beantworte die Frage im Sachzusammenhang.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • Eine Hängebrücke hat zwei Pfeiler, die jeweils 250m über die Straßenebene hinausragen und einen Abstand von 1200m besitzen. Die Haupttragseile, die an den Spitzen der Pfeiler aufgehängt sind, verlaufen in etwa parabelförmig. Im Abstand von jeweils 100m sind senkrechte Tragseile gespannt, die die Straße tragen und "Hänger" genannt werden. Die längsten Hänger sind 100m von den Pfeilern entfernt, die kürzesten Hänger besitzen eine Länge von 50m. Bestimme die Länge der längsten Hänger auf ganze Meter gerundet.
    In der Abbildung der Brücke ist ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 100m so ergänzt, dass die x-Achse der Straßenebene und ein Teil der y-Achse dem linken Pfeiler entspricht: 
    graphik
    Der zu den Stahlseilen in diesem Koordinatensystem passende Funktionsterm lautet:
    f(x)
    =
     
    		 ▉ 
     
    ·
    x
    −
    		 ▉ 
    2
     
    +
     
    		 ▉ 
    Die längsten Hänger besitzen eine Länge von ca.  ▉  Metern.
    Schritt 1 von 3
    Ergänze mithilfe der Informationen im Text die Scheitelpunktform von f:
    f(x)
    =
    a
     
    ·
    x
    −
    2
     
    +
     
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema (+Video)
Welche drei Darstellungsformen gibt es für quadratische Funktionen und wie werden sie beschrieben?
#923
Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
  1. Allgemeine Form:
    y=ax²+bx+c
    Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
     
  2. Scheitelpunktform:
    y=a·(x−xS)²+yS
    Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(xS|yS) ablesen.
     
  3. Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
    y=a·(x−x1)·(x−x2)
    Hieraus lassen sich die Nullstellen x1 und x2 ablesen.
Beispiel
Stelle, soweit ablesbar, passende Funktionsterme für die Parabeln f und g auf.
graphik
Wie wandelt man die Darstellungsformen einer quadratischen Funktion ineinander um?
#924
Die Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel kann von jeder Form aus in jede andere Form umgewandelt werden:
  • Allgemeine Form ⇒ Scheitepunktform: mittels quadratischer Ergänzung
  • Allgemeine Form ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, z.B. mit Hilfe der Miternachts- oder der p-q-Formel
  • Scheitelpunktform ⇒ allgemeine Form: Ausmultiplizieren (binomische Formel) und vereinfachen
  • Scheitelpunktform ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, wobei hier keine Lösungsformel notwendig ist
  • Nullstellenform ⇒ allgemeine Form: Ausmultiplizieren und vereinfachen
  • Nullstellenform ⇒ Scheitelpunktform: xS ergibt sich als Mittelwert der Nullstellen, yS durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm
Beispiel
Allgemeine Form - Scheitelpunktform - Nullstellenform: Wandle jeweils von der gegebenen in die beiden anderen Formen um.
a) 
y
=
1
3
 
x
+
1
2
−
2
b) 
y
=
1
2
 
x
2
−
5x
+
8
c) 
y
=
3
·
x
−
2
·
x
+
1
Wie modelliert man Parabeln in Sachzusammenhängen abhängig von gegebenen Punkten?
#926
Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
  • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
  • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
  • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.