2.3 Geraden und ihre Gleichungen - Matheübungen und Online-Aufgaben

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1

Beurteile, ob die Gerade mit der jeweiligen Gleichung parallel oder senkrecht zur Geraden g steht (oder keines dieser beiden Merkmale aufweist).

−

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Wie verhalten sich die Steigungen von parallelen und senkrechten Geraden zueinander?

#558

Sind zwei Geraden parallel, so besitzen sie dieselbe Steigung.

Sind zwei Geraden g und h zueiandner senkrecht (orthogonal), so erfüllen ihre Steigungen die Gleichung m_g · m_h = −1.

Wie kann man rechnerisch überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?

#646

Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.

Beispiel

Liegt der Punkt P auf der Geraden g?

Gerade:

Punkt:

Wie überprüft man, ob ein Punkt bezüglich eines Funktionsgraphen auf, über oder unter diesem liegt?

#234

Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt

über dem Graphen, wenn b > f(a)
auf dem Graphen, wenn b = f(a)
unter dem Graphen, wenn b < f(a)

Beispiel

−

;

−

2,5

;

−

Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Geraden liegt.

Wie berechnet man die fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Geraden, wenn eine Koordinate bekannt ist?

#650

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.

Beispiel

Die beiden Punkte liegen auf der Geraden. Berechne die fehlenden Werte.

Gerade:

−

Punkte:

−

Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt einer Geraden, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind?

#150

Ist eine Gerade g durch ihre Steigung m und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man den y-Achsenabschnitt t leicht bestimmen:

Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + t (für m setze die bekannte Steigung ein).
Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten t auf.

Beispiel

Wo schneidet die Gerade, die durch

−

1,6

und P(2|−0,5) gegeben ist, die y-Achse?

Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden mit bekanntem y-Achsenabschnitt und einem weiteren Punkt?

#656

Ist eine Gerade g durch ihren y-Achsenabschnitt t und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man die Steigung m leicht bestimmen:

Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + t (für t setze den bekannten y-Achsenabschnitt ein).
Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten m auf.

Beispiel

Welche Steigung hat die Gerade, die durch t = 2,5 und P(2 | -0,5) gegeben ist?

Wie lautet die Geradengleichung?

Wie berechnet man die Steigung einer Geraden mit zwei gegebenen Punkten?

#151

Ist eine Gerade g durch zwei Punkte A(x₁|y₁) und B(x₂|y₂) gegeben, so kann man ihre Steigung m so berechnen:

Berechne die Differenz der y-Werte beider Punkte, also Δy = y₂ − y₁.
Berechne ebenso die Differenz der x-Werte beider Punkte, also Δx = x₂ − x₁.
Der Bruch Δy / Δx ergibt die Steigung m.

Beispiel

Ermittle die Steigung der Gerade, die durch die Punkte (-1,5 | 2,5) und (0 | -3) geht.

Wie bestimmt man die Gleichung einer Geraden aus zwei gegebenen Punkten?

#154

Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und t, zu ermitteln:

Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
Setze dann in die Gleichung y = m·x + t einen der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach t auf.

Beispiel

Ermittle die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte P₁(−3|2) und P₂(5|−4) geht.

Wie prüfst du rechnerisch, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen?

#1193

Liegen drei Punkte auf einer Geraden?

Sind drei Punkte A(x_A|y_A), B(x_B|y_B) und C(x_C|y_C) gegeben, dann stelle eine Geradengleichung durch zwei Punkte, etwa A und B auf:

Berechne Δy = y_B − y_A und Δx = x_B − x_A
Berechne Steigung m = Δy/Δx
Berechne y-Achsenabschnitt t = y_A − m⋅x_A

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein:
y = m⋅x + t
Setze dann Punkt C ein:
y_C = m⋅x_C + t

Erhältst du rechts und links vom Gleichheitszeichen die gleiche Zahl, liegen die drei Punkte auf einer Geraden, ansonsten nicht.

Beispiel

Liegen die drei Punkte auf einer Geraden?

A(1|2), B(3|8) und C(4|9)

Wie berechnet man die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen?

#842

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

Jede Gerade, die nicht parallel zu einer der Koordinatenachsen verläuft, schneidet jede Achse genau einmal.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist dort, wo die x-Koordinate den Wert 0 annimmt. Er kann aus der Geradengleichung abgelesen werden, z.B ist bei y=2x−3 der y-Achsenabschnitt −3 und damit S_y(0|−3)
Am Schnittpunkt mit der x-Achse ist die y-Koordinate 0. Um die x-Koordinate des Schnittpunkts zu bestimmen, setzt du in der Geradengleichung y=0 und löst die Gleichung nach x auf.
Die Stelle x, an der die Gerade die x-Achse schneidet, bezeichnet man auch als Nullstelle.

Beispiel

Bestimme die Schnittpunkte der Gerade

g: y

mit den Koordinatenachsen.

Wie zeichnet man eine Gerade, wenn Steigung m und y-Achsenabschnitt t bekannt sind?

#810

Um die Gerade mit der Gleichung y=mx+t zu zeichnen, gehe am besten wie folgt vor:

Stelle die Steigung m als Bruch dar (falls nicht schon als Bruch gegeben), z.B. m = -1/4 .
Gehe vom Schnittpunkt mit der y-Achse, also P(0|t) aus um den Nennerbetrag, hier also um 4, nach rechts.
Gehe dann um den Zählerbetrag nach oben (falls m postiv) bzw. unten (falls m negativ). Hier also um 1 nach unten. Damit hast du einen zweiten Punkt und kannst die Gerade zeichnen.

Die Schritte 2 und 3 können auch vertauscht werden. Ebenso ist es egal, ob du Kästchen oder ganze Einheiten abzählst. Wichtig ist nur, dass du nach rechts und nach oben (bzw. unten) die gleichen Schrittlängen abgehst.

Beispiel

Bestimme zeichnerisch: Welchen y-Achsenabschnitt besitzt die Gerade g, die durch den Punkt (−3|−1) geht und parallel ist zur Geraden h mit der Gleichung

−

0,25x

Wie bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden anhand ihrer Steigungen und y-Achsenabschnitte ohne zu rechnen?

#1122

Kennt man die Steigungen und y-Achsenabschnitte zweier Geraden, kann man OHNE RECHNUNG angeben, wie die Geraden zueinander liegen:

Steigungen gleich, y-Achsenabschnitte nicht gleich: Die Geraden sind echt parallel.
Steigungen gleich, y-Achsenabschnitte gleich: Die Geraden sind identisch.
Steigungen nicht gleich, y-Achsenabschnitte nicht gleich: Die Geraden schneiden sich.
Steigungen nicht gleich, y-Achsenabschnitte gleich: Die Geraden schneiden sich auf der y-Achse.
Der Schnittpunkt kann direkt angegeben werden: S ( 0 | c )

Wie löst man eine lineare Gleichung zeichnerisch?

#423

Jede lineare Gleichung mit einer Unbekannten kann auch zeichnerisch gelöst werden: Die Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen werden dabei als Geraden interpretiert (y = ...). Zeichne die Geraden ein und schaue, ob und - wenn ja - wo sie sich schneiden.

Beispiel

Löse durch Zeichnung:

−

1,5

−

0,25

−

Beispiel

Dirk wiegt 72 kg und möchte mit Krafttraining Muskelmasse aufbauen, um Wrestler im Superschwergewicht zu werden. Mit Hilfe eines strengen Trainings- und Ernährungsplans will er pro Monat ca. 5kg zulegen. Sebastian hat mit 102kg deutlich Übergewicht und will durch eine disziplinierte Diät wöchentlich ca. 500g abnehmen. Nach wie vielen Wochen wären Dirk und Sebastian gleich schwer, wenn sie mit der Umsetzung ihrer Pläne zur selben Zeit beginnen und durchhalten?

Wie bestimmt man den Schnittpunkt zweier Geraden?

#155

Den Schnittpunkt zweier Geraden ermittelt man, indem man ihre Funktionsterme gleichsetzt:

Setze g(x) = h(x) und löse diese Gleichung nach x auf.
Setze den ermittelten x-Wert in g(x) oder h(x) ein, so erhältst du den y-Wert des Schnittpunkts.

Spezialfall: Den Schnittpunkt einer Gerade g mit der x-Achse (y = 0) ermittelt man durch g(x) = 0.

Beispiel

Bestimme durch Rechnung den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h mit folgenden Gleichungen:

g: y

h: y

−

Welche vier Ausnahmefälle sind zu beachten, wenn man die Lage zweier Geraden zueinander untersucht?

#156

Folgende Ausnahmefälle hinsichtlich der Lage zweier Geraden sind zu beachten:

Beide Geraden sind (echt) parallel, haben also keinen Schnittpunkt. Das passiert, wenn beide Geraden dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte haben. In dem Fall lässt sich die Gleichung g(x) = h(x) nicht lösen, es entsteht eine falsche Aussage wie z.B. 1=0.
Beide Geraden sind identisch, zu erkennen an derselben Steigung und demselben y-Achsenabschnitt. Die Gleichung g(x) = h(x) beschreibt in diesem Fall eine wahre Aussage wie z.B. 0 = 0, hat also unendlich viele Lösungen.
Eine Geraden ist senkrecht, z.B. x = 5; dann kann die andere Gerade sie, wenn überhaupt, nur bei x = 5 schneiden.
Eine Geraden ist waagrecht, z.B. y = 5; dann kann die andere Gerade sie, wenn überhaupt, nur in (?|5) schneiden.

Beispiel

f: y

g: x

h: y

i: y

0,125x

Untersuche paarweise, wie die Geraden zueinander liegen und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.

2.3 Geraden und ihre Gleichungen, Matheübungen

Lineare Funktionen: Geradengleichung aufstellen, Lage von Punkten, Schnittpunkte - Lehrwerk Fokus Mathematik (5.-8. Klasse) - 110 Aufgaben in 22 Levels

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