2.4.2 Ebenen in Koordinatenform, besondere Lage und Spiegelpunkte, Matheübungen

Wenn die griechischen Buchstaben irritieren, ersetzt sie doch einfach durch lateinische. - Lehrplan (im Aufbau)

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  • Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:
    • Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
    • Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
    • Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
    • Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.

Spiegele...

  • ...den Punkt 
    P
    -16|-13|8
     an der Ebene 
    E:
     
     
    8x
    1
    +
    x
    2
    −
    4x
    3
    +
    11
    =
    0
     und gib die Koordinaten des Spiegelpunkts P ' an.
    Ansatz:
    ·
    +
    λ
    +
    +
    λ
    −
    ·
    −
    λ
    +
    =
    0
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Wie erkennt man, ob eine Ebene E in Koordinatenform durch den Ursprung geht oder zu einer Achse bzw. Ebene parallel ist?
#609
E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 ist
  • Ursprungsebene (d.h. enthält den Ursprung des Koordinatensystems) genau dann, wenn n0 = 0.z.B. 3x1 + 2x2 − x3 = 0 [keine Konstante am Ende].
  • parallel zur x1-Achse genau dann, wenn n1 = 0.z.B. 2x2 − x3 + 5 = 0 [x1 kommt nicht vor].
  • parallel zur x1 x2-Ebene genau dann, wenn n1 = n2 = 0.z.B. 2x3 + 3 = 0 [x1 und x2 kommen nicht vor].
Für die anderen Koordinatenachsen und -ebenen analog.
Wie führt man Spiegelungen geometrischer Objekte an Geraden und Ebenen durch?
#799
Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:
  • Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
  • Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
  • Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
  • Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.