2.4.3 Schnittprobleme mit Ebenen in allen Varianten. Auf die Aufgabenstellung achten., Matheübungen

Wenn die griechischen Buchstaben irritieren, ersetzt sie doch einfach durch lateinische. - Lehrplan (im Aufbau)

Hilfe
  • Ermittle für die beiden Ebenen jeweils einen Normalenvektor. Prüfe dann, ob die beiden Normalenvektoren parallel, senkrecht oder in anderem Winkel zueinander stehen. Untersuche, falls nötig, durch eine Punktprobe, ob die Ebenen identisch oder echt parallel sind.
  • Soll man nur die Lagebeziehung von zwei Ebenen ermitteln (und nicht die Schnittgerade aufstellen), so genügt es auch zu prüfen, ...
    • ... ob die Normalenvektoren linear abhängig sind (⇒ E und F parallel). In diesem Fall kann man durch Einsetzen des Aufpunkts der einen Ebene in die andere Ebene prüfen, ob E und F echt parallel oder identisch sind.
    • ... ob die Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen (⇒ auch E und F senkrecht zueinander).
    Trifft beides nicht zu, schneiden sich die Ebenen, jedoch nicht senkrecht.

Bestimme die Lagebeziehung der zwei gegebenen Ebenen.

  • E:
     
    3x
    1
    −
    8x
    2
    −
    2x
    3
    +
    7
    =
    0
    F:
     
    X
    =
    2
    0
    3
    +
    λ
    ·
    0
    1
    1
    +
    μ
    ·
    4
    −
    5
    3
    E und F sind identisch (E = F)
    E und F sind echt parallel (E || F und E ≠ F)
    E und F schneiden sich senkrecht (E ⊥ F)
    E und F schneiden sich, jedoch nicht senkrecht
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Wie bestimmt man die Lage einer Geraden zu einer Ebene und findet einen Schnittpunkt?
#613

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

  1. Setze g in E ein, d.h. ersetze x1, x2 und x3 in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
  2. Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
  3. Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.
Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar
  • echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
  • unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
Beispiel
E
:
x
1
+
5x
2
−
3x
3
+
9
=
0
g
:
X
=
1
−
2
0
+
λ
 
4
1
3
h
:
X
=
0
−
1
3
+
λ
 
2
−
3
1
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.
Wie bestimmt man die Lage und Schnittgerade zweier Ebenen in Normalenform?
#611
Sind zwei Ebenen E und F jeweils durch eine Gleichung in Normalenform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
  • Vergleiche zuerst die Normalenvektoren beider Ebenen: sind sie linear abhängig, so sind E und F parallel. Lässt sich zudem die Gleichung von E durch Äquivalenzumformung (Multiplikation mit geeignetem Faktor auf beiden Seiten) in die Gleichung von F überführen, so sind E und F sogar identisch.
  • Andernfalls schneiden sich E und F. Eine Gleichung in Parameterform für die Schnittgerade s erhält man so:
    1. Setze z.B. x1 = λ.
    2. Löse z.B. die Gleichung von E nach x2 auf und setze das Ergebnis in die Gleichung von F ein. So erhältst du eine Gleichung der Sorte x3 = ....λ....
    3. Setze dieses Ergebnis in E ein und du du erhältst schließlich x2=...λ...
    4. Schreibe die Ergebnisse für x1, x2 und x3 untereinander und forme daraus "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor".
Beispiel
E
:
x
1
−
2x
3
+
3x
3
−
5
=
0
F
:
2x
1
−
2x
2
+
x
3
−
1
=
0
G
:
−
3x
1
+
6x
2
−
9x
3
+
10
=
0
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.
Wie bestimmt man die Lage und Schnittgerade zweier Ebenen, wenn eine in Parameterform und die andere in Normalenform gegeben ist?
#612
Ist die Ebene E durch eine Gleichung in Normalenform und die Ebene F durch eine Gleichung in Paramterform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
  1. Setze F in E ein, d.h. ersetze x1, x2 und x3 in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen des F-Gleichungssystems.
  2. Löse die entstehende λ,μ-Gleichung, wenn möglich, z.B. nach μ auf und setze das Ergebnis in die F-Gleichung für μ ein.
  3. Fasse zu "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor" zusammen.
Eine Schnittgerade liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind die Ebenen parallel, und zwar
  • echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
  • identisch, wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
Beispiel
E
:
x
1
+
5x
2
+
13x
3
−
2
=
0
F
:
X
=
1
2
−
3
+
λ
 
1
0
2
+
μ
 
1
−
1
1
G
:
X
=
0
−
1
3
+
λ
 
2
−
3
1
+
μ
 
5
−
1
0
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.
Wie kann man feststellen, ob zwei Ebenen parallel, senkrecht oder sich schneidend sind?
#778
Soll man nur die Lagebeziehung von zwei Ebenen ermitteln (und nicht die Schnittgerade aufstellen), so genügt es auch zu prüfen, ...
  • ... ob die Normalenvektoren linear abhängig sind (⇒ E und F parallel). In diesem Fall kann man durch Einsetzen des Aufpunkts der einen Ebene in die andere Ebene prüfen, ob E und F echt parallel oder identisch sind.
  • ... ob die Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen (⇒ auch E und F senkrecht zueinander).
Trifft beides nicht zu, schneiden sich die Ebenen, jedoch nicht senkrecht.