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2.5 Abstandsprobleme, Matheübungen
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Die Quersumme der gesuchten Zahl lautet 10.
Beispielaufgabe
Der Abstand zweier Punkte A und B (= Entfernung) ist gleich der Länge ihres Verbindungsvektors.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.
Berechne den Abstand der beiden Punkte.
A(1|-3|5) und B(7|-2|-4)
d(A;B)
=
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie wird der Abstand zweier Punkte mittels eines Vektors bestimmt?
#599
Der Abstand zweier Punkte A und B (= Entfernung) ist gleich der Länge ihres Verbindungsvektors.
Beispiel
Welchen Abstand haben die Punkte A(1|-3|-7) und B(-2|3|-6) von einander?
Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene in Koordinatenform?
#600
Um den Abstand eines Punktes P(p
1
| p
2
| p
3
) von einer Ebene E: n
1
x
1
+ n
2
x
2
+ n
3
x
3
+ n
0
= 0 zu ermitteln, gehe wie folgt vor:
Setze P in E ein, d.h. bestimme den Term n
1
p
1
+ n
2
p
2
+ n
3
p
3
+ n
0
.
Teile den Betrag vom Ergebnis oben durch die Länge des Normalenvektors mit den Koordinaten n
1
, n
2
und n
3
.
Beispiel
Welchen Abstand hat der Punkt P(1|-2|6) von der Ebene E
:
2x
1
+
x
2
−
4x
3
−
9
=
0
?
Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Erläutere zwei Methoden.
#601
Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g zu bestimmen:
Mittels Hilfsebene:
Führe eine Hilfsebene E ein, die P enthält und senkrecht zu g verläuft (also den Richtungsvektor von g als Normalenvektor besitzt).
Ermittle den Schnittpunkt S von E und g.
Berechne die Entfernung zwischen P und S.
Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":
Bilde den Vektor, der P mit einem Punkt Q
λ
der Geraden g verbindet.
Bestimme λ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g steht (also das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von g den Wert 0 ergibt).
Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.
Beispiel
Welchen Abstand hat der Punkt P(5|-3|2) von der Geraden g:
X
=
−
2
0
4
+
λ
1
2
−
2
?
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