3.1 Verknüpfte Funktionen aus Polynom und e-Funktion, Matheübungen

- Lehrplan (im Aufbau)

Löse Schritt für Schritt.

  • Die Funktion f mit 
    f
     
    x
    =
    e
    –x
    ·
    –2x
    2
    +
    3x
     und Definitionsmenge ℝ gibt für 
    x
     
    ≥
     
    0
     näherungsweise die Auslenkung y (in dm) eines Stoßdämpfers in Abhängigkeit von der Zeit x (in s) an, wenn zum Zeitpunkt x = 0 ein Stoß nach oben erfolgt.
    Löse im Einzelschrittmodus:
    a) Ermittle rechnerisch, welche Auslenkung der Stoßdämpfer nach längerer Zeit hat.
    b) Berechne den Wert von 
    f
     
    '
     
    0
     und beschreibe dessen Bedeutung im Sachzusammenhang.
    Die Definitionsmenge wird nun auf 
    D
    =
    [0;
     
    ∞[
     beschränkt.
    c) Ermittle die Extrempunkte des Graphen von f unter Beachtung des linken Rands der Definitionsmenge.
    d) Bestimme unter Beachtung der Definitionsmenge die Wertemenge von f und beschreibe deren Bedeutung im Hinblick auf den Stoßdämpfer.
    Schritt 1/4
    • Zu a)
    Zur Beantwortung dieser Frage muss berechnet werden.
    Als Ergebnis erhält man den Wert .
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keine Berechtigung
Beispiel
Gegeben ist die für x∈ℝ definierte Funktion f mit 
f
 
x
=
2
−
3x
·
e
−
x
.
a) Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen?
b) Gib alle Nullstellen an.
c) Bestimme alle relativen Hoch- und Tiefpunkte.
d) Berechne f(-0,5), f(0) und f(4) und zeichne 
G
f
 auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
−
0,5
 
≤
 
x
 
≤
 
4
.
e) Die Tangente an 
G
f
 an der Stelle 
x
=
0
 bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme dessen Fläche.
Was besagt die Produktregel in der Differentialrechnung?
#330
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)