3.2 Das Integral als orientierter Flächeninhalt, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Um den Rechenaufwand zu minimieren, kannst du ein Tabellenkalkulationsprogramm wie z.B. Excel zu Hilfe nehmen. Zwei Spalten, acht Zeilen und eine Summe führen jeweils zum Ergebnis für Ober- und Untersumme.
  • Die Fläche A zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall [a;b] kann durch Unter- und Obersumme (Un bzw. On) abgeschätzt werden (Streifenmethode).
    • Die Untersumme setzt sich aus n gleichbreiten, auf der x-Achse nebeneinander stehenden Rechtecksflächen (Streifen) zusammen, die möglichst hoch sind, den Graph aber niemals überragen.
    • Die Streifen der Obersumme sind möglichst niedrig, aber nie unterhalb des Graphen.
    • Die Breite der Streifen beträgt in beiden Fällen (b − a)/n.
    Damit lässt sich abschätzen:

    Un ≤ A ≤ On

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.

Schätze das Integral durch seine Unter ( U8 )- und Obersumme ( O8) ab. Ergebnis(se) mit 2 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!

  • f
     
    x
    =
    2
    +
    1
    x
    +
    2
    <
    1
    −
    1
    f
    x
     
    dx
    <
    Vorsicht: links ist AB-, rechts AUFzurunden!
    graphik
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keine Berechtigung
Wie wird das bestimmte Integral geometrisch interpretiert?
#566
Das bestimmte Integral mit der Integrandenfunktion f und den Integrationsgrenzen a und b kann als FlächenBILANZ gedeutet werden: Man betrachte die Fläche zwischen Gf und der x-Achse im Intervall [a; b]. Teilflächen oberhalb der x-Achse gehen positiv, Teilflächen unterhalb der x-Achse negativ in die Bilanz ein.
Wie kann man die Fläche zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall abschätzen und welche Fachbegriffe sind dabei relevant?
#568
Die Fläche A zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall [a;b] kann durch Unter- und Obersumme (Un bzw. On) abgeschätzt werden (Streifenmethode).
  • Die Untersumme setzt sich aus n gleichbreiten, auf der x-Achse nebeneinander stehenden Rechtecksflächen (Streifen) zusammen, die möglichst hoch sind, den Graph aber niemals überragen.
  • Die Streifen der Obersumme sind möglichst niedrig, aber nie unterhalb des Graphen.
  • Die Breite der Streifen beträgt in beiden Fällen (b − a)/n.
Damit lässt sich abschätzen:

Un ≤ A ≤ On

Beispiel
Schätze mit Hilfe der Streifenmethode (n=6) ab:
3
0
2
x
 
dx
Was ist eine Integralfunktion und welche Eigenschaften hat sie?
#567
Integriert man f(t) von a bis x (d.h. die obere Grenze ist variabel), so erhält man eine Integralfunktion Ia die jedem Wert x (= obere Grenze) das entsprechende Integral (Flächenbilanz) zuordnet. Ia besitzt im Allgemeinen folgende Eigenschaften:
  • mindestens eine Nullstelle x = a (weil das Integral von a bis a immer 0 ist)
  • sie ist Stammfunktion von f (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Beispiel
graphik
I(x)
=
x
0
f
 
t
 
dt
Welche Aussage ist richtig, welche falsch?
I ist im Intervall [3; ∞[ streng monoton zunehmend.
I ist im Intervall [0; 2] streng monoton fallend.
I ist im Intervall [0; 2] nicht negativ.
I hat die stärkste Zunahme bei x = 2.
I besitzt ein relatives Maximum bei x = 1.