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3.2 Das Integral als orientierter Flächeninhalt, Mathe-Übungen
- Lehrwerk Lambacher Schweizer
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Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
Um den Rechenaufwand zu minimieren, kannst du ein Tabellenkalkulationsprogramm wie z.B. Excel zu Hilfe nehmen. Zwei Spalten, acht Zeilen und eine Summe führen jeweils zum Ergebnis für Ober- und Untersumme.
Beispielaufgabe
+Video
Die Fläche A zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall [a;b] kann durch
Unter- und Obersumme
(U
n
bzw. O
n
) abgeschätzt werden (
Streifenmethode
).
Die Untersumme setzt sich aus n gleichbreiten, auf der x-Achse nebeneinander stehenden Rechtecksflächen (Streifen) zusammen, die möglichst hoch sind, den Graph aber niemals überragen.
Die Streifen der Obersumme sind möglichst niedrig, aber nie unterhalb des Graphen.
Die Breite der Streifen beträgt in beiden Fällen (b − a)/n.
Damit lässt sich abschätzen:
U
n
≤ A ≤ O
n
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.
Schätze das Integral durch seine Unter ( U
8
)- und Obersumme ( O
8
) ab. Ergebnis(se) mit 2 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
Zwischenschritte aktivieren
f
x
=
2
+
1
x
+
2
<
1
−
1
f
x
dx
<
Vorsicht: links ist AB-, rechts AUFzurunden!
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
!
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Stoff zum Thema (+Video)
Das
bestimmte Integral
mit der
Integrandenfunktion
f und den
Integrationsgrenzen
a und b kann als FlächenBILANZ gedeutet werden: Man betrachte die Fläche zwischen G
f
und der x-Achse im Intervall [a; b]. Teilflächen oberhalb der x-Achse gehen positiv, Teilflächen unterhalb der x-Achse negativ in die Bilanz ein.
Die Fläche A zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall [a;b] kann durch
Unter- und Obersumme
(U
n
bzw. O
n
) abgeschätzt werden (
Streifenmethode
).
Die Untersumme setzt sich aus n gleichbreiten, auf der x-Achse nebeneinander stehenden Rechtecksflächen (Streifen) zusammen, die möglichst hoch sind, den Graph aber niemals überragen.
Die Streifen der Obersumme sind möglichst niedrig, aber nie unterhalb des Graphen.
Die Breite der Streifen beträgt in beiden Fällen (b − a)/n.
Damit lässt sich abschätzen:
U
n
≤ A ≤ O
n
Beispiel
Schätze mit Hilfe der Streifenmethode (n=6) ab:
3
0
2
x
dx
Integriert man f(t) von a bis x (d.h. die obere Grenze ist variabel), so erhält man eine
Integralfunktion
I
a
die jedem Wert x (= obere Grenze) das entsprechende Integral (Flächenbilanz) zuordnet. I
a
besitzt im Allgemeinen folgende Eigenschaften:
mindestens eine Nullstelle x = a (weil das Integral von a bis a immer 0 ist)
sie ist Stammfunktion von f (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Beispiel
I(x)
=
x
0
f
t
dt
Welche Aussage ist richtig, welche falsch?
I ist im Intervall [3; ∞[ streng monoton zunehmend.
I ist im Intervall [0; 2] streng monoton fallend.
I ist im Intervall [0; 2] nicht negativ.
I hat die stärkste Zunahme bei x = 2.
I besitzt ein relatives Maximum bei x = 1.
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