3.2 Ganzrationale Funktionen und ihr Verhalten für x-> ±∞, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

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  • Bei einer ganzrationalen Funktion entscheidet die größte x-Potenz mitsamt ihrem Koeffizienten, von wo der Graph kommt und wohin er geht:
    • Exponent ungerade, Koeffizient positiv (z.B. 5x³): von links unten nach rechts oben
    • Exponent ungerade, Koeffizient negativ (z.B. -2x): von links oben nach rechts unten
    • Exponent gerade, Koeffizient positiv (z.B. ½x²): von links oben nach rechts oben
    • Exponent gerade, Koeffizient negativ (z.B. -x²): von links unten nach rechts unten

Wie verläuft der Graph?

  • f(x)
    =
    −
    x
    3
    +
    3x
    5
    +
    10x
    −
    2
    Von links
     
       
     
    oben
     
       
     
    unten
    nach rechts
     
       
     
    oben
     
       
     
    unten
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Wie bestimmt man das Verhalten des Graphen einer ganzrationalen Funktion an den Rändern?
#312
Bei einer ganzrationalen Funktion entscheidet die größte x-Potenz mitsamt ihrem Koeffizienten, von wo der Graph kommt und wohin er geht:
  • Exponent ungerade, Koeffizient positiv (z.B. 5x³): von links unten nach rechts oben
  • Exponent ungerade, Koeffizient negativ (z.B. -2x): von links oben nach rechts unten
  • Exponent gerade, Koeffizient positiv (z.B. ½x²): von links oben nach rechts oben
  • Exponent gerade, Koeffizient negativ (z.B. -x²): von links unten nach rechts unten
Wie bestimmt man den Grad einer ganzrationalen Funktion in Summen- und Produktform?
#314
Um den Grad anzugeben, schaut man auf die höchste x-Potenz (sofern der Term als Summe von x-Potenzen mit jeweiligem Koeffizient vorliegt).

Liegt der Term faktorisiert vor, muss man pro Faktor die größte x-Potenz heranziehen. Es ist (für die Bestimmung des Grads) nicht erforderlich, alle Klammern auszumultiplizieren.

Beispiel
Bestimme den Grad von
a) 
f
 
x
=
1
−
x
+
4x
5
−
1
2
 
x
3
b) 
f
 
x
=
1
−
x
2
·
1
+
2x
−
3x
3
Was ist eine ganzrationale Funktion und welche Begriffe sind damit verbunden?
#311
Der Term f(x) einer ganzrationalen Funktion (synonym: Polynomfunktion) besteht aus einer Summe von x-Potenzen, denen reelle Faktoren vorangestellt sind, wie z.B.


½ x³ + 3x² − 5

Die höchste x-Potenz bestimmt den Grad, im Beispiel oben beträgt dieser 3. Die vor den x-Potenzen stehenden reellen Faktoren (½; 3; -5) nennt man Koeffizienten. Taucht eine x-Potenz gar nicht auf, so ist der entsprechende Koeffizient 0.

Beispiel
f(x)
=
4
7
−
x
2
+
2
 
x
4
Gib den Grad und die auftretenden Koeffizienten ai an (mit ai ist der Faktor vor xi gemeint)
Was bedeutet die faktorisierte Form ganzrationaler Funktionen und wie wird sie in Summenform umgewandelt?
#313
Ein ganzrationaler Term kann evtl. in faktorisierter Form vorliegen, d.h. als Produkt von mehreren Teiltermen (jeder davon ebenfalls ganzrational). Um die übliche Darstellung zu erhalten (Summe von x-Potenzen mit jeweiligem Koeffizient), muss man die Klammern ausmultiplizieren. Dabei ist das Distributivgesetz ("jeder mit jedem") anzuwenden.
Beispiel
f
 
x
=
1
2
 
x
−
3
·
x
+
1
3
2
. Multipliziere aus und gibt die Koeffizienten 
a
0
, a
1
, a
2
 usw. an, die vor 
x
0
, x
1
, x
2
 usw. stehen.