3.2 Grundkonstruktionen, Matheübungen

Konstruktion von Mittelsenkrechter, Lot und Winkelhalbierender, Lösen von Lageproblemen - Lehrwerk Fokus Mathematik (5.-8. Klasse) - 44 Aufgaben in 10 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Überlege dir zunächst, auf welchen Hilfslinien die vorgegebenen Eigenschaften erfüllt sind und zeichne diese ein.
  • Hilfe zum Thema
    Die kürzeste Entfernung eines Punktes P zu …
    • … einem anderen Punkt Q misst man entlang der Strecke von P nach Q.
    • … einer Geraden g misst man entlang des Lots zu g durch P.
    Punkte mit gleicher Entfernung zu …
    • … zwei Punkten A und B liegen auf der Mittelsenkrechten von A und B.
    • … zwei sich schneidenden Geraden g und h liegen auf den beiden Winkelhalbierenden von g und h.
    Punkte mit einem bestimmten Abstand d zu …
    • … einem Punkt A liegen auf dem Kreis um A mit Radius d.
    • … einer Geraden g liegen auf den beiden Parallelen zu g im Abstand d.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 9
  • Gesucht sind Punkte mit vorgegebenen Eigenschaften. Konstruiere mit Zirkel und Lineal oder verwende Geogebra. Ergebnis(se) mit 1 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
  • Zwischenschritte aktiviert
    • Gegeben sind die Punkte A(-3|1), B(2|1) und C(0,5|-3). Ermittle die Koordinaten der beiden Punkte, die genau 2cm von der Geraden AB und zugleich 2,5cm vom Punkt C entfernt sind. Dabei soll mit P1 der im Koordinatensystem weiter links liegende Punkt bezeichnet werden.
    P
    1
     
     
    		 ▉ 
     
    |
     
    		 ▉ 
     
    P
    2
     
     
    		 ▉ 
     
    |
     
    		 ▉ 
     
    Schritt 1 von 3
    Wo liegen alle Punkte, die von der Geraden AB genau 2cm entfernt sind?
    Auf den Kreisen um A und um B mit Radius 2cm.
    Auf der Mittelsenkrechten von 
    AB
    .
    Auf den beiden Parallelen zu AB im Abstand 2cm.
    Auf AB zwischen A und B.
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema
Was ist die exklusive Eigenschaft von Punkten auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB in Bezug auf A und B?
#797
Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB liegen, haben eine exklusive Eigenschaft (d.h. nur sie haben diese Eigenschaft): Sie sind zu A und B gleich weit entfernt. D.h.
  • ist P ein beliebiger Punkt der Mittelsenkrechten, so ist dieser zu A und B gleich weit entfernt.
  • ist irgendein Punkt P von A und B gleich weit entfernt, so muss die Mittelsenkrechte durch P gehen (darum "exklusiv").
Diese Eigenschaft lässt sich z.B. auch nutzen, um eine Winkelhalbierende oder ein Lot zu konstruieren.
Beispiel 1
Gegeben ist die Strecke AB. Konstruiere die Mittelsenkrechte.
graphik
Beispiel 2
Ein Winkel soll halbiert werden.
graphik
Welche einzigartige Eigenschaft besitzen Punkte auf der Symmetrieachse bezüglich eines Punkts P und seines Spiegelpunkts P´?
#385
Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen, haben eine exklusive Eigenschaft (d.h. nur sie haben diese Eigenschaft): Sie sind zu symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. D.h.
  • sind P und P´ zueinander achsensymmetrische Punkte und A ein beliebiger Punkt der Achse, so ist dieser zu P und P´gleich weit entfernt.
  • sind P und P´ zueinander achsensymmetrische Punkte und von A gleich weit entfernt, so muss A auf der Spiegelachse liegen.
Beispiel
(A) Von P aus soll ein Lot auf g gefällt werden (P ∉ g).
graphik
(B) Im Punkt P soll ein Lot zur Geraden g errichtet werden (P ∈ g).
graphik
Wie bestimmt man die Entfernung von einem Punkt zu einer Geraden und die Lage von Punkten mit gleicher oder bestimmter Entfernung zu geometrischen Objekten?
#824
Die kürzeste Entfernung eines Punktes P zu …
  • … einem anderen Punkt Q misst man entlang der Strecke von P nach Q.
  • … einer Geraden g misst man entlang des Lots zu g durch P.
Punkte mit gleicher Entfernung zu …
  • … zwei Punkten A und B liegen auf der Mittelsenkrechten von A und B.
  • … zwei sich schneidenden Geraden g und h liegen auf den beiden Winkelhalbierenden von g und h.
Punkte mit einem bestimmten Abstand d zu …
  • … einem Punkt A liegen auf dem Kreis um A mit Radius d.
  • … einer Geraden g liegen auf den beiden Parallelen zu g im Abstand d.
Was ist eine Tangente und welche Eigenschaft ergibt sich bei einem Kreis?
#557
Eine Tangente t berührt einen Kreis im Punkt P und hat damit die Eigenschaft, dass sie senkrecht zur Geraden durch M (Kreismittelpunkt) und P (Berührpunkt) steht.