3.3 Parametergleichung einer Ebene und lineare Abhängigkeit, Matheübungen

Geraden und Ebenen im Raum - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 25 Aufgaben in 6 Levels

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    Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man z.B. A als Aufpunkt, den Vektor von A nach B als ersten und den Vektor von A nach C als zweiten Richtungsvektor für ihre Gleichung in Parameterform verwenden.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 1
  • Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A, B und C geht, eine Gleichung in Parameterform an.
    • A(-2|3|5), B(1|-4|-1) und C(1|1|-7)
    E
    :
    X
    =
    5
    +
    λ
    ·
    −
    3
    7
    +
    μ
    ·
    −
    3
    2
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie bestimmt man die Parameterform einer Ebene durch drei Punkte A, B und C?
#604
Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man z.B. A als Aufpunkt, den Vektor von A nach B als ersten und den Vektor von A nach C als zweiten Richtungsvektor für ihre Gleichung in Parameterform verwenden.
Beispiel
Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|0|0), B(1,5|2|0,5) und C(0|0|-2) geht, eine Gleichung in Parameterform an.
Wie prüft man, ob ein Punkt P auf einer Ebene E in Parameterform liegt?
#606
Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Ebene E liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von E (Parameterform) ein. Sofern sich beide Parameter eindeutig bestimmen lassen, gilt P ∈ E.
Beispiel
Gegeben ist die Ebene E
:
X
=
4
3
−
4
+
λ
·
1
−
2
3
+
μ
·
−
2
1
1
 
.
Prüfe, ob der Punkt P(-1|3|5) auf E liegt.
Wie legen zwei Geraden in Parameterform eine Ebene fest und wie bestimmt man deren Parameterform?
#605
Zwei Geraden g und h legen eine Ebene fest, wenn sie
  • sich in einem Punkt schneiden:
In diesem Fall kann man den Aufpunkt von g oder h oder den Schnittpunkt als Aufpunkt der Ebene verwenden sowie die beiden Richtungsvektoren der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene.
  • echt parallel sind (d.h. parallel und nicht identisch):
In diesem Fall kann man den Aufpunkt von g oder h als Aufpunkt der Ebene verwenden. Da die Richtungsvektoren beider Geraden linear abhängig sind, verwendet man den Verbindungsvektor zwischen den Aufpunkten beider Geraden als zweiten Richtungsvektor der Ebene.
Beispiel
g
:
X
=
3
5
−
4
+
λ
·
1
0
2
 
     
 
h
:
X
=
2
5
−
6
+
λ
·
−
5
3
3
 
     
 
i
:
X
=
7
9
0
+
λ
·
−
3
0
−
6
Die Ebene E enthält die Geraden g und h, die Ebene F die Geraden g und i. Gib für E und F jeweils eine Gleichung in Parameterform an.
Welche besonderen Lagebeziehungen zwischen einer Ebene und dem Koordinatensystem sind möglich und welche Rolle spielen dabei der Stützvektor und die Richtungsvektoren?
#607
Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Ebene E z.B. dann, wenn
  • sie durch den Ursprung geht und/oder
  • sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
  • sie parallel zu einer Achse verläuft.
Parallele Lagebeziehungen ergeben sich allein aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene, für die Frage "echt oder unecht parallel" (UNECHT z.B. dann, wenn E die x1-Achse ENTHÄLT) muss auch der Ortsvektor, der zum Aufpunkt führt (Stützvektor) in die Betrachtung mit einbezogen werden.
Beispiel
Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben folgende Ebenen:
E
:
X
=
2
3
−
4
+
λ
·
0
1
−
4
+
μ
·
0
3
0
G
:
X
=
λ
·
1
1
−
1
+
μ
·
0
3
2
I
:
X
=
λ
·
0
1
1
+
μ
·
1
0
0
 
        
 
F
:
X
=
1
1
0
+
λ
·
2
0
0
+
μ
·
0
0
−
1
H
:
X
=
0
0
−
5
+
λ
·
2
3
4
+
μ
·
0
0
1
 
 
 
Für Vektoren ungleich dem Nullvektor lässt sich lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit immer anschaulich interpretieren:
  • Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zueinander sind.
  • Drei Vektoren im ℝ³ sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zu einer Ebene sind. Letzteres ist erfüllt, wenn mindestens zwei der Vektoren parallel zueinander sind.
Wann sind n Vektoren im ℝ³ linear abhängig?
#1309

Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

\[ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

ist nur möglich mit \( \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0\).