3.6. Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene, Matheübungen

Geraden und Ebenen im Raum - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse) - 18 Aufgaben in 6 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema

    Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.

    Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

    1. Setze g in E ein, d.h. ersetze x1, x2 und x3 in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
    2. Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
    3. Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.
    Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar
    • echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
    • unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 1
  • Lagebeziehung Ebene - Gerade.
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • E
    :
    2x
    1
    +
    5x
    2
    −
    2x
    3
    −
    7
    =
    0
    g
    :
    X
    =
    −
    1
    2
    1
    +
    λ
     
    1
    −
    4
    3
    E enthält g
    g ist echt parallel zu E
    E und g schneiden sich im Punkt
       
     
    S
     
    −
    23
    24
     
    |
     
    2
    1
    6
     
    |
     
    9
    8
       
     
    S
     
    −
    23
    24
     
    |
     
    1
    5
    6
     
    |
     
    9
    8
       
     
    S
     
    −
    1
    1
    24
     
    |
     
    2
    1
    6
     
    |
     
    7
    8
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie bestimmt man die Lage einer Geraden zu einer Ebene und findet einen Schnittpunkt?
#613

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

  1. Setze g in E ein, d.h. ersetze x1, x2 und x3 in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
  2. Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
  3. Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.
Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar
  • echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
  • unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
Beispiel
E
:
x
1
+
5x
2
−
3x
3
+
9
=
0
g
:
X
=
1
−
2
0
+
λ
 
4
1
3
h
:
X
=
0
−
1
3
+
λ
 
2
−
3
1
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.
Wie konstruiert man die Lotgerade zu einer Ebene und die Lotebene zu einer Geraden durch einen Punkt?
#795
Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:
  • P als Aufhängepunkt und
  • den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.
Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt P wählt man:
  • P als Aufhängepunkt und
  • den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.
Wie führt man Spiegelungen geometrischer Objekte an Geraden und Ebenen durch?
#799
Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:
  • Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
  • Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
  • Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
  • Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.
Wie konstruiert man geometrische Objekte wie Lotgeraden, Lotebenen und führt Spiegelungen durch?
#1308
Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:
  • P als Aufhängepunkt und
  • den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.
Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt P wählt man:
  • P als Aufhängepunkt und
  • den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.


Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:
  • Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
  • Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
  • Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.