3.6. Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene - Matheübungen und Online-Aufgaben

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 6

Ergänze einen weiteren Punkt so, dass die angegebene Figur entsteht.
Zwischenschritte aktiviert

Von einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit Basis AB sind die Punkte A(-1|-4|7) und B(2|-2|2) bekannt.

Außerdem weiß man, dass der Punkt C auf der Geraden g mit der folgenden Gleichung liegt:

−

Bestimme die Koordinaten des fehlenden Punkts C des gleichschenkligen Dreiecks:

▉

Schritt 1 von 3

Entscheide, wie man hier am besten vorgeht:

Man bestimmt zunächst eine Gleichung für die …

Dafür benötigt man als Aufhängepunkt …

Außerdem benötigt man den Verbindungsvektor

…

Der gesuchte Punkt C ergibt sich dann als Schnittpunkt …

keine Berechtigung

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Lösung

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Stoff zum Thema (+Video)

Wie bestimmt man die Lage einer Geraden zu einer Ebene und findet einen Schnittpunkt?

#613

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

Setze g in E ein, d.h. ersetze x₁, x₂ und x₃ in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.

Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar

echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.

Beispiel

−

Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.

Wie konstruiert man die Lotgerade zu einer Ebene und die Lotebene zu einer Geraden durch einen Punkt?

#795

Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.

Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt P wählt man:

P als Aufhängepunkt und
den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.

Wie führt man Spiegelungen geometrischer Objekte an Geraden und Ebenen durch?

#799

Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.

Wie konstruiert man geometrische Objekte wie Lotgeraden, Lotebenen und führt Spiegelungen durch?

#1308