3.9 Kugeln, Matheübungen

Geraden und Ebenen im Raum - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 25 Aufgaben in 7 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level

    Vergleiche den Abstand der Mittelpunkte mit den Radien.

  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema

    Zwei Kugeln können sich mit einem Schnittkreis schneiden, sich in einem Punkt berühren oder sich garnicht schneiden.

    Die Lage untersucht man, indem man den Abstand der beiden Mittelpunkte \(|\overrightarrow{M_1M_2}|\) mit der Summe, beziehungsweise der Differenz, der beiden Radien vergleicht:

    • \( |\overrightarrow{M_1M_2}| < |r_1-r_2| \) oder \(|\overrightarrow{M_1M_2}| > r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln besitzen keine gemeinsamen Punkte.
    • \( |\overrightarrow{M_1M_2}| = |r_1-r_2| \) oder \(|\overrightarrow{M_1M_2}| = r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln berühren sich.
    • \( |r_1-r_2| < |\overrightarrow{M_1M_2}| < r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln schneiden sich.

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 7
  • Wie liegen die beiden Kugeln zueinander? Bestimme.
  • Zwischenschritte aktiviert

    • Gegeben sind zwei Kugeln mit den Mittelpunkten \(M_1(-1|8|2)\) und \(M_2(2|3|-1) \text{,}\) sowie den Radien \(r_1=2\) und \(r_2=3 \text{.}\)

     ▉  Die Kugeln besitzen keine gemeinsamen Punkte, eine liegt in der anderen.

     ▉  Die Kugeln besitzen keine gemeinsamen Punkte, keine liegt in der anderen.

     ▉  Die Kugeln berühren sich in einem Punkt, eine liegt in der anderen.

     ▉  Die Kugeln berühren sich in einem Punkt, keine liegt in der anderen.

     ▉  Die Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis.

    Schritt 1 von 3

    Bestimme den Abstand der beiden Mittelpunkte. Runde auf eine Dezimale.

    Abstand:

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Stoff zum Thema (+Video)
Welche Eigenschaft haben alle Punkte X auf einer Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r, beschrieben durch Vektoren?
#853
Alle Punkte X auf der Kugel mit Mitelpunkt M und Radius r haben die Eigenschaft, dass der Verbindungsvektor von M zu X die Länge r hat. Entsprechend lässt sich die Kugelgleichung formulieren.
Beispiel
Gib eine Gleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(1|0|-2) und Radius 5 an.
Wie liegen eine Kugel und eine Gerade zueinander und wie bestimmt man Berühr- oder Schnittpunkte?
#1316
Gegeben ist eine Kugel k mit Mittelpunkt M und Radius r sowie eine Gerade g. Der Abstand d von M zu g gibt Aufschluss darüber, welcher der drei Fälle vorliegt:
  1. Im Fall d < r schneiden sich k und g in zwei Punkten. Die Schnittpunkte ermittelt man durch Einsetzen von g in k.
  2. Im Fall d = r berühren sich k und E in einem Punkt (=Lotfußpunkt F des Lots von M auf g)
  3. Im Fall d > r haben k und g keine gemeinsamen Punkte.
Beispiel
Gegeben ist eine Kugel k mit dem Mittelpunkt M(-5|3|2) und dem Radius 
r
=
12
 sowie die Gerade 
g:
 
X
=
1
−
4
3
+
λ
 
1
−
2
5
.
 
Ermittle, welchen Abstand der Kugelmittelpunkt M zur Geraden g hat und bestimme, soweit vorhanden, alle gemeinsamen Punkte von k und g.
Wie liegen eine Kugel und eine Ebene zueinander und wie bestimmt man den Berührpunkt oder Schnittkreis?
#1311
Gegeben ist eine Kugel k mit Mittelpunkt M und Radius r sowie eine Ebene E. Der Abstand d von M zu E gibt Aufschluss darüber, welcher der drei Fälle vorliegt:
  1. Im Fall d < r schneiden sich k und E, die Schnittmenge ist ein Kreis. Dessen Radius r' lässt sich mittels Pythagoras bestimmen: r²=d²+(r')²
  2. Im Fall d = r berühren sich k und E in einem Punkt (=Lotfußpunkt F des Lots von M auf E)
  3. Im Fall d > r haben k und E keine gemeinsamen Punkte.
Beispiel
Gegeben ist eine Kugel k mit dem Mittelpunkt M(1|−4|3) und dem Radius 
r
=
4,5
 sowie die Ebene 
E:
 
x
1
−
2x
2
+
5x
3
=
0.
 Stelle fest, ob k und E gemeinsame Punkte besitzen. Falls ja, bestimme den Berührpunkt bzw. Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises.
Beispiel
Gegeben sind die Punkte A(1|2|3), B(-1|3|5), C(0|3|-3) sowie die Punkteschar Mb(1-b|1+b|8). Mb ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die durch A, B und C festgelegte Ebene E berührt. Bestimme b so, dass für die Oberfläche der Kugel gilt O = 12/87· π.
Wie können zwei Kugeln zueinander liegen und wie wird dies bestimmt?
#1466

Zwei Kugeln können sich mit einem Schnittkreis schneiden, sich in einem Punkt berühren oder sich garnicht schneiden.

Die Lage untersucht man, indem man den Abstand der beiden Mittelpunkte \(|\overrightarrow{M_1M_2}|\) mit der Summe, beziehungsweise der Differenz, der beiden Radien vergleicht:

  • \( |\overrightarrow{M_1M_2}| < |r_1-r_2| \) oder \(|\overrightarrow{M_1M_2}| > r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln besitzen keine gemeinsamen Punkte.
  • \( |\overrightarrow{M_1M_2}| = |r_1-r_2| \) oder \(|\overrightarrow{M_1M_2}| = r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln berühren sich.
  • \( |r_1-r_2| < |\overrightarrow{M_1M_2}| < r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln schneiden sich.

Beispiel

Ermittle die Lage der beiden Kugeln:

\(K_1: (x_1 - 3)^2 + (x_2 + 1)^2 + (x_3 - 6)^2 = 4\)
\(K_2: (x_1 - 1)^2 + x_2^2 + (x_3 - 4)^2 = 1\)