3. Hypothesentest, Matheübungen

- Lehrplan (im Aufbau)

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  • Erkennungsmerkmale:
    • Signifikanzniveau: Eher kleine Prozenzwerte, also 10% oder weniger; meist im Zusammenhang: "Die Wahrscheinlichkeit...irrtümlich abulehnen soll höchstens...betragen."
    • Hypothesen meist im Zusammenhang: "Es wird vermutet, dass die Quote/Rate/Wahrscheinlichkeit...mindestens/mehr als/höchstens/weniger als...beträgt."
    • speziell Nullhypothese: immer mit "gleich", "mindestens" oder "höchstens" formuliert; heißt es im Text "mehr als" oder "weniger als", so ist das die Gegenhypothese zur Nullhypothese.

Formuliere die Entscheidungsregel.

  • Bei einem Musikwettbewerb, der aus einer Messehalle bundesweit live im Fernsehen übertragen wird, bestreiten die beiden bayerischen Bands München Motel und Bavarian King das Finale. Nach ihrem letzten Auftritt entscheiden die Zuschauer im Rahmen einer telefonischen Abstimmung über den Sieger des Wettbewerbs; bei jedem Anruf ist nur der favorisierte Finalist zu nennen. Bevor die bereits feststehende Entscheidung bekannt gegeben wird, wird die Sendung ein letztes Mal für einen längeren Werbeblock unterbrochen. Für die Hallen- und Fernsehzuschauer wird unmittelbar vor dieser Werbeunterbrechung eine Graphik eingeblendet, aus der hervorgeht, dass die Abstimmung 40% zu 60% ausging - offen bleibt, wer gewonnen hat. Ein Fan von München Motel will die Auflösung nicht abwarten und befragt in der Pause 25 Hallenzuschauer, für wen sie gestimmt haben. Formulieren Sie eine Entscheidungsregel, bei der
    • die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Fan zu früh freut, höchstens 10% beträgt
    • und die Wahrscheinlichkeit, irrtümlich Bavarian King als Sieger vorherzusagen, möglichst klein ist.
    Entscheidungsregel:
    Bei mehr als 
     
     
     Pro-Stimmen kann er den Sieg seiner Band annehmen.
    Quelle: ISB, Abi 2011 (abgewandelt))
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Was sind Nullhypothese, Gegenhypothese, Testgröße, kritischer und nichtkritischer Bereich sowie rechtsseitiger und linksseitiger Test bei einem einseitigen Hypothesentest?
#1223
Bei einem einseitigen Hypothesentest sind folgende Begriffe von Bedeutung
  • H0: Nullhyothese; immer von der Art "p=", "p≤" oder "p≥" (mit Gleichheitszeichen)
  • H1: Gegenhypothese; immer von der Art "p<" oder "p>" (ohne Gleichheitszeichen)
  • Z: Testgröße, misst die Anzahl der Treffer in einer Stichprobe mit vorgegebener Länge
  • K: kritischer Bereich = Intervall, in dem Z liegen muss, damit Nullhypothese verworfen wird (Ablehnungsbereich der Nullhypothese)
  • K: nichtkritischer Bereich = Intervall, in dem Z liegen muss, damit Nullhypothese beibehalten wird (Annahmebereich der Nullhypothese)
  • rechtsseitiger bzw. linksseitger Test: hängt vom Ungleichheitszeichen der Gegenhypothese ab; bei "p>" liegt ein rechtsseitiger Test vor, da K in diesem Fall von der Art Z>k sein muss.
Wie formuliert man Null- und Gegenhypothese sowie Annahme- und Ablehnungsbereich bei einem einseitigen Hypothesentest?
#1224
Beachte bei der Formulierung von Null- und Gegenhypothese sowie Annahme- und Ablehnungsbereich beim einseitigen Hypothesentest:
  • H0 lautet "p =", "p ≤" oder "p ≥" ("=" kommt vor).
  • H1 lautet dagegen "p >" oder "p <" ("=" kommt nicht vor).
  • Zur Hypothese "p >" (ebenso "p ≥") passt der Bereich Z > k (ebenso Z ≥ k)
  • A und A decken zusammen den Stichprobenumfang ab und dürfen sich nicht überschneiden.
Beispiel
Ein Würfel ist angeblich gezinkt und bringt Augenzahl 6 deutlich häufiger hervor als alle anderen Augenzahlen. Dies soll durch 60 Würfe getestet werden. Fällt dabei "Augenzahl 6" mehr als 15 mal, so gilt der Verdacht als bestätigt. Formuliere H0 und H1 sowie Annahme und Ablehungsbereich der Nullhypothese.
Was versteht man unter Fehlern erster und zweiter Art in der Statistik?
#791
  • Fehler erster Art (α´): Die Nullhypothese wird abgelehnt (Z ∈ A), obwohl sie richtig ist
  • Fehler zweiter Art (β): Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt (Z ∈ A), obwohl sie falsch ist

Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten nennt man Risiko erster bzw. zweiter Art.

Beispiel
Bestimme die Fehler erster und zweiter Art (letzteren für p = 0,05):
n = 30
H
0:
 
p ≥ 0,1
    
    
A
=
{2; 3;...; 30}
H
1:
 
p < 0,1
    
    
A
=
{0; 1}
Was versteht man unter einem einseitigen Signifikanztest?
#794
Beim einseitigen Signifikanztest wird für das Risiko erster Art eine Schranke (Signifikanzniveau, z.B. 5%) vorgegeben. Annahme- und Ablehungsbereich der Nullhypothese (=Entscheidungsregel) sind dann also so zu bestimmen, dass diese Schranke (gerade noch) eingehalten wird.
Beispiel
n
=
40
H
0
: p ≤
 
1
3;
    
    
H
1
: p >
 
1
3
Gib einen möglichst großen Ablehnungsbereich der Nullhypothese für das Signifikanzniveau von 1% an.