4.13 Binomialverteilung - Standardabweichung, Matheübungen

Mittelwert und Standardabweichung einer Datenreihe x₁, x₂, ..., x_n:

Mittelwert (Arithmetisches Mittel) x:

• Addiere alle Daten und dividiere durch die Anzahl der Daten.
• x=1/n · (x₁ + x₂ + ... + x_n)

Empirische Standardabweichung s:

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie sehr die Werte der Datenreihe um den Mittelwert schwanken.

Berechnung der Standardabweichung:

• Bestimme den Mittelwert x.
• Subtrahiere den Mittelwert von jedem Wert x_i der Datenreihe.
• Quadriere jeweils die Ergebnisse.
• Addiere alle quadrierten Werte.
• Dividiere dann durch die Anzahl n der Daten.
• Ziehe vom Ergebnis die Quadratwurzel.
• Als Formel: s = √{ 1/n·[ (x₁ − x)²+ (x₂ − x)² + ... + (x_n − x)² ] }

Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße X:

Erwartungswert μ(X) (lies:"mü von X"):

Der Erwartungswert beschreibt den Mittelwert der Zufallsgröße, sprich die Zahl, die die Zufallsgröße im Durchschnitt annimmt.

Berechnung des Erwartungswertes:

• Multipliziere jeden Wert x_i von X mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit P(X=x_i)
• Addiere alle so erhaltenen Werte.
• Als Formel: μ(X)=x₁· P(X=x₁)+ x₂· P(X=x₂) + ... + x_n· P(X=x_n)

Standardabweichung σ(X) (lies: "sigma von X")

Die Standardabweichung einer Zufallsgröße X gibt grob gesagt an, wie stark die Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert gestreut ist.

Berechnung der Standardabweichung:

• Bestimme den Erwartungswert μ.
• Subtrahiere den Erwartungswert von jedem Wert x_i den die Zufallsgröße annehmen kann.
• Quadriere jeweils die Ergebnisse.
• Multipliziere die Ergebnisse mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
• Addiere alle so erhaltenen Produkte.
• Ziehe vom Ergebnis die Quadratwurzel.
• Als Formel: σ(x) = √ Σ (x_i − μ)²· P(X = x_i)=√ [(x₁ − μ)²· P(X = x₁)+ (x₂ − μ)²· P(X = x₂) + ... + (x_n − μ)²· P(X = x_n)]