4.4 Trigonometrische Funktionen, Matheübungen

Abwandlungen der normalen Sinus- und Kosinuskurve (bzgl. Amplitude, Periode, Verschiebung in x- und y-Richtung) - Lehrwerk Lambacher Schweizer

Hilfe
  • Verwende einen Plotter zur Überprüfung.
  • Der Graph der Funktion y = a·sin[b·(x + c)] ; b>0 entsteht aus der normalen Sinuskurve durch folgende Schritte:
    • Streckung/Stauchung in x-Richtung; die Periode ergibt sich durch 2π/b, vergößert sich also für b<1 und verkleinert sich für b>1
    • Verschiebung in x-Richtung um |c|; bei negativem Wert nach rechts, ansonsten nach links;
    • Streckung in y-Richtung mit dem Faktor |a|; zusätzlich Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist;
    Für den Kosinus gelten die selben Gesetzmäßigkeiten.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bedingung:
  • a > 0
  • b > 0
  • -½ Periode ≤ c < ½ Periode
Bestimme die Parameter so, dass der Funktionsterm zum Graph passt. Evtl. auftretende Brüche sind in der Form "p/q" bzw. "-p/q" einzutragen.

  • graphik
    y
    =
    a
    ·
    cos
     
    b
    ·
    x
    +
    c
    a
    =
    b
    =
    c
    =
    ·
    π
    Achtung: damit die Lösung eindeutig ist, sind ganz oben Bedingungen für a, b und c gefordert. Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, wird deine Lösung (selbst wenn sie zu dem Graphen passt) nicht akzeptiert.
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Allgemeine Sinusfunktion
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Allgemeine Sinusfunktion

Kanal: Mathegym
Wie verändert sich die normale Sinuskurve zu y = a·sin(x + c) + d?
#846
Der Graph der Funktion  y = a·sin(x+c)+d  entsteht aus der normalen Sinuskurve durch:
  • Streckung (|a|>1) bzw. Stauchung (|a|<1) in y-Richtung mit dem Faktor |a|; zusätzlich Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist
  • Verschiebung um |c| Einheiten nach links (c>0) bzw. nach rechts (c<0)
  • Verschiebung um |d| Einheiten nach unten (d<0) bzw. nach oben (d>0)
Für den Kosinus gelten die selben Gesetzmäßigkeiten.
Beispiel
Zeichne die Graphen zu folgenden Funktionen:
a) 
0,5
·
sin
 
x
b) 
sin
 
x
−
π
3
c) 
cos
 
x
−
1
d) 
−
1,5
·
cos
 
x
+
π
2
Wie beeinflusst der Faktor b die Periode und Nullstellen der Funktionen y = sin(b·x) und y = cos(b·x)?
#847
Die Funktion f(x) = sin(b·x); b>0 bzw. deren Graph
  • ist gegenüber der normalen Sinuskurve in x-Richtung gestreckt (b<1) bzw. gestaucht (b>1).
  • besitzt die Periode 2π / b
  • und damit folgende Nullstellen: außer 0 die halbe Periode und alle (positiven wie negativen) Vielfachen davon.
Für den Kosinus gelten bzgl. Streckung/Stauchung und Periode dieselben Gesetzmäßigkeiten; das Rezept für die Nullstellen lautet hier: Nimm eine viertel Periode und addiere dazu (bzw. ziehe ab) eine halbe Periode (bzw. Vielfache davon).
Beispiel
Zeichne die Graphen zu folgenden Funktionen:
a) 
sin
 
2
3
·
x
b) 
cos
 
3
2
·
x
Wie beeinflussen Parameter die Amplitude und Periode der Sinusfunktion und wann kommt es zu Streckung, Stauchung oder Spiegelung?
#337
Durch bestimmte Vorfaktoren lassen sich Amplitude und Periode der normalen Sinuskurve verändern. Amplitude beschreibt die Ausprägung in y-Richtung, normalerweise beträgt sie 1. Unter Periode versteht man die Länge des Intervalls, indem sich der Graph nicht wiederholt, normalerweise beträgt diese 2π. Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
  • y = a·sin(x) in y-Richtung gestreckt (|a| > 1) bzw. gestaucht (|a| < 1). Ist a negativ, erscheint der Graph zudem an der x-Achse gespiegelt.
  • y = sin(b·x), b>0, in x-Richtung gestreckt (0 < b < 1) bzw. gestaucht (b > 1). Ihre Periode ergibt sich aus 2π / b.
Beispiel
Der unten abgebildete Graph gehört zu einer Gleichung der Form
y
=
a
·
sin
 
b
·
x
, wobei a>0 und b>0
graphik
Bestimme a und b.
Wie beeinflussen die Parameter c und d die Verschiebung der Sinusfunktion in x- und y-Richtung?
#338
Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
  • y = sin(x + c) in x-Richtung nach rechts (c < 0) bzw. links (c > 0) verschoben.
  • y = sin(x) + d in y-Richtung nach oben (d > 0) bzw. unten (d < 0) verschoben.
Beispiel
Gib die zum Graph passende Funktionsgleichung an:
graphik
y
=
sin
x
−
?
−
?
Wie bestimmt man Amplitude, Periode und Nullstellen der Funktion f(x) = a·sin(b·x) mit b>0?
#494
Die Funktion f(x) = a·sin(b·x); b>0 bzw. deren Graph besitzt:
  • die Amplitude |a|,
  • die Periode 2π / b
  • und damit folgende Nullstellen: außer 0 die halbe Periode und alle (positiven wie negativen) Vielfachen davon.
Für den Kosinus gelten bzgl. Amplitude und Periode dieselben Gesetzmäßigkeiten; das Rezept für die Nullstellen lautet hier: Nimm eine viertel Periode und addiere dazu (bzw. ziehe ab) eine halbe Periode (bzw. Vielfache davon).
Wie transformiert man die Standard-Sinuskurve zur Funktion y = a·sin[b·(x + c)], b>0?
#342
Der Graph der Funktion y = a·sin[b·(x + c)] ; b>0 entsteht aus der normalen Sinuskurve durch folgende Schritte:
  • Streckung/Stauchung in x-Richtung; die Periode ergibt sich durch 2π/b, vergößert sich also für b<1 und verkleinert sich für b>1
  • Verschiebung in x-Richtung um |c|; bei negativem Wert nach rechts, ansonsten nach links;
  • Streckung in y-Richtung mit dem Faktor |a|; zusätzlich Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist;
Für den Kosinus gelten die selben Gesetzmäßigkeiten.
Beispiel 1
f
 
x
=
cos
 
b
·
x
+
c
Bestimme passende Parameterwerte b und c 
b
 
>
 
0 und
−
π
 
<
 
c
 
<
 
π
, so dass der Funktionsterm zum abgebildeten Graphen passt.
graphik
Beispiel 2
Welche der angegebenen Funktionsterme passen zum abgebildeten Graphen?
graphik
a
 
−
1,75
·
sin
 
0,6
·
x
−
π
6
b
 
1,75
·
sin
 
0,6
·
x
+
1,5π
c
 
1,5
·
sin
 
0,6
·
x
+
1,5π
    
    
d
 
1,75
·
sin
 
5
3
·
x
+
1,5π
e
 
1,75
·
sin
 
0,6
·
x
+
1,5π
+
1
f
 
1,75
·
sin
 
0,75
·
x
+
1,5π
Wie lauten die Ableitungen der Funktionen sin(x) und cos(x)?
#441
f (x) = sin(x) ⇒ f ´ (x) = cos(x)
f (x) = cos(x) ⇒ f ´ (x) = -sin(x)
Beispiel
f
 
x
=
−
2
 
sin
x
Bei welchen 
x ∈ [0; 2π[
 ist die Tangente des Graphen 
G
f
 parallel zur Gerade durch die Punkte (0|−1) und (1|-3)