4.5 Beschränktes Wachstum, Matheübungen

Bestimmung von B(n), Proportionalitätsfaktor c, Zeitschritt n; Textaufgaben - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Hilfe
  • Sei B(n) der Bestand nach dem n-ten Zeitschritt. Unterscheide die drei Wachstumsarten:
    • Linear: Zunahme pro Zeitschritt ist - absolut - immer gleich, d.h.
      B(n + 1) = B(n) + d
    • Exponentiell: Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
      B(n + 1) = B(n) · a.
    • Beschränkt: Zunahme pro Zeitschritt ist proportional zum Sättigungsmanko S − B(n) [S ist die Sättigungsgrenze], d.h.
      B(n + 1) = B(n) + c · [S − B(n)]

Welche Art von Wachstum liegt vor?

  • Frau A. kauft sich jeden Monat 5 Paar Schuhe.
    linear
    exponentiell
    beschränkt
    keines davon
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Wie unterscheiden sich die Wachstumsarten linear, exponentiell und beschränkt voneinander?
#503
Sei B(n) der Bestand nach dem n-ten Zeitschritt. Unterscheide die drei Wachstumsarten:
  • Linear: Zunahme pro Zeitschritt ist - absolut - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) + d
  • Exponentiell: Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) · a.
  • Beschränkt: Zunahme pro Zeitschritt ist proportional zum Sättigungsmanko S − B(n) [S ist die Sättigungsgrenze], d.h.
    B(n + 1) = B(n) + c · [S − B(n)]
Wie erkennt man beschränktes Wachstum und welche Formeln beschreiben es?
#504
Sei B(n) der Bestand nach dem n-ten Zeitschritt. Beschränktes Wachstum liegt vor, wenn sich B(n) nach folgender rekursiven Formel berechnen lässt:

B(n + 1) = B(n) + c · [S − B(n)]

S drückt die Schranke des Wachstums aus, c das (konstante) Verhältnis von absoluter Zunahme und dem Sättigungsmanko S − B(n).

Schneller lässt sich B(n) oft mit folgender (nicht rekursiven) Formel berechnen:

B(n) = S − (1 − c)n · [S − B(0)]

Beispiel 1
Die Größe B entwickelt sich, ausgehend vom Anfangsbestand B(0) = b, gemäß der rekursiven Formel für beschränktes Wachstum. Bestimme B für die ersten 3 Zeitschritte, wobei b = 1000; Schranke S = 5000; Proportionalitätsfaktor c = 0,4.
Beispiel 2
Die Größe B entwickelt sich, ausgehend vom Anfangsbestand B(0) = b, gemäß der rekursiven Formel für beschränktes Wachstum. Bestimme B(3), wenn bekannt ist: b = 600; B(1) = 780; Proportionalitätsfaktor c = 0,3.